Derivación  logarítmica
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DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

Se establecen los pasos de esta técnica. Se desarrollan dos ejemplos s en que se obtiene la derivada de una función que es un producto, cociente o función elevada a función usando el método de diferenciación logarítmica. Se explica el por qué de los pasos del método de diferenciación logarítmica.



Derivadas de funciones complicadas que aparecen productos, cocientes o potencias combinadas

Ejemplo resuelto por pasos
Encuentrar dy/dx siguiendo los pasos de derivación logarítmica.

Solución
P1) Tome logaritmos a ambos miembros.
P1)
$$ \ln \left (y \right )=\ln\left (x^4(x-1)^2\sqrt{x+1} \right ) $$

P2) Aplique propiedades de los logaritmos en el lado derecho hasta que ningún logaritmo sea un producto, cociente o potencia.
P2)
$$\ln \left (y \right )=\ln\left (x^4 \right ) + \ln\left ((x-1)^2 \right )+ \ln\left ( (x+1)^{1/2} \right ) $$ Falta aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia $$\ln \left (y \right )=4\ln\left (x \right ) + 2 \ln \left (x-1 \right )+ \cfrac{1}{2} \ln\left ( x+1 \right ) $$

P3) Derive implícitamente.
P3)
$$ \cfrac{1}{y}{y}'= 4\cfrac{1}{x}+2\cfrac{1}{x-1}+\cfrac{1}{2}\cfrac{1}{x+1} $$
Recuerde que ${y}' $ representa la derivada de $y$ con respecto a $x$, $ \cfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} $

P4) Despeje y´.
P4)
$$ {y}'= {y} \left ( \cfrac{4}{x}+\cfrac{2}{x-1}+\cfrac{1}{2(x+1)} \right ) $$

P5) Sustituya y por su definición.
P5)
$$ {y}'= x^4(x-1)^2\sqrt{x+1} \left ( \cfrac{4}{x}+\cfrac{2}{x-1}+\cfrac{1}{2(x+1)} \right ) $$ Puede o no distribuir y simplificar.



Ejercicio Encontrar $dy/dx$, usando derivación logarítmica. $$ y= \frac{x\left ( x^2+1 \right )^3}{\sqrt{3x^2-1}} $$
Respuesta
$${y}'= \frac{x\left ( x^2+1 \right )^3}{\sqrt{3x^2-1}}\left ( \frac{1}{x} +3\left ( \frac{2x}{x^2+1} \right )-\frac{1}{2}\frac{6x}{3x^2-1}\right ) $$




Derivada de función elevada a función, $ y=f(x)^{g(x)} $
Este método de derivación se usa como procedimiento alternativo para obtener la derivada de función elevada a función.

Ejemplo Para $y=(x+1)^{x^2} $, encontrar $dy/dx$
P1) Tomar logaritmos a ambos miembros
$$ \ln \left (y \right )=\ln\left ((x+1)^{x^2} \right ) $$ P2) Aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia
$$\ln \left (y \right )={x^2}\ln\left ((x+1) \right ) $$ P3) Derivar implícitamente
$$ \cfrac{1}{y}{y}'= 2x\ln(x+1)+ \cfrac{x^2}{x+1}$$ P4) Despejar ${y}' $
$$ {y}'=y \left (2x\ln(x+1)+ \cfrac{x^2}{x+1} \right )$$ P5) Sustituir $y$
$$ {y}'= (x+1)^{x^2} \left (2x\ln(x+1)+ \cfrac{x^2}{x+1} \right )$$





Si el exponente o la base es una constante es preferible usar la regla de la potencia o la regla de la exponencial, respectivamente.


Ejemplo Para cada una de las siguiente funciones, encontrar $dy/dx$. Use la regla de la potencia o de la exponencial combinada con la regla de la cadena en caso que se pueda.
$a) \ y=(x+1)^{\pi-1}; \\ b) \ y=(2x)^{x/2}; \\ c) \ y=(\sqrt{2})^{x^2}$
a)
El exponente es una constante, se puede usar la regla de la cadena con función externa una potencia, potencia generalizada $$ {y}=(\pi-1)(x+1)^{\pi-2} $$

a)
Tanto en la base como en el exponente está la variable. La derivación logarítmica es uno de los métodos recomendados.
P1 Tomar logaritmos a ambos miembros $$ \ln y=\ln \left ((2x)^{x/2} \right ) $$
P2 Desarrollar los logaritmos $$ \ln y= \frac{x}{2} \ln \left (2x \right )$$ Podemos dejarlo hasta aquí, pero también podemos seguir, aplicando la propiedad del logaritmo de un producto. $$ \ln y= \frac{x}{2} \left (\ln2+\ln x \right ) $$
P3 Derivar implícitamente $$\cfrac{1}{y}{y}'= \frac{1}{2} \left (\ln2+\ln x \right )+\frac{x}{2} \left (\frac{1}{x} \right ) $$ En el lado derecho se uso la regla del producto. Simplificando queda $$\cfrac{{y}'}{y}= \frac{1}{2} \left (\ln2+\ln x +1 \right ) $$
P4 Despejar ${y}'$ $$ {y}'=y\left (\frac{1}{2} \left (\ln2+\ln x +1 \right ) \right )\\ $$

P5 Sustituir $y$ $$ {y}'=\frac{(2x)^{x/2}}{2} \left ( \ln2+\ln x +1 \right )\\ $$

c)
La base es una constante, es preferible derivar usando la derivada de la función exponencial compuesta con función. Como la base es distinta del número $e$ aparece el factor logaritmo neperiano de la base. $${\left ( a^{u} \right )}'=a^{u} {u}'\ln ( a )$$ Al aplicar la fórmula obtenemos $$ {y}'= (\sqrt{2})^{x^2}\cdot \left (2x \right ) \cdot \ln ( \sqrt{2} ) $$




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