Regla de l´Hôpital y formas indeterminadas
Cálculo de límites
INTRODUCCIÓN
El límite


es una forma indeterminada 0/0, pues tanto el numerador como el
denominador tienden a 0 cuando
x tiende a 0.  Este límite no puede ser
determinado usando operaciones algebraicas que permitan la cancelación de
factores del numerador y denominador. Éste  junto con otros límites de
cocientes que son formas indeterminadas 0/0 o infinito sobre infinito pueden
ser evaluado aplicando la regla de l´Hôpital,  calculado el límite del cociente
de  las derivadas.


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Respuestas
Respuestas 1) 1/2;   2) -1/4;   3) -1/2;   4) 2;   5) -1 ;   6) ∞   7) -1;  


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Regla de l´Hôpital
  Sean f y g derivables y
   Si el límite existe o bien es   ,   entonces

             
Ejemplo.  Encuentre



Solución  Ya observamos que el límite es una forma
indeterminada 0/0. Tanto la función del numerador y
denominador son derivables, entonces el límite se puede
determinar usando la regla de l´Hôpital
Se calcula el límite por
sustitución directa
Extensiones de la regla de l´Hôpital.
La regla se sigue cumpliendo en el caso que se tenga una forma indeterminada del tipo infinito sobre infinito. Esto es si

       

También se cumple para límites laterales, es decir, si c es sustituido por c + o c -,

Finalmente, se cumple para límites en el infinito, c por ∞.

Ejemplo  Encuentre



Solución   Al  intentar aplicar sustitución directa nos percatamos
que tenemos una indeterminación 0/0. Efectivamente, tenemos
una indeterminación pues
Intentamos de encontrar el límite aplicando la regla de l´Hôpital
Video 1
Video
DESPUÉS DE APLICAR L´HÔPITAL

Se esquematiza distintas situaciones que pueden ocurrir después de aplicar L´Hôpital y cómo proceder para determinar el límite resultante. Se muestran cuatro ejemplos de límites de cocientes que presentan formas indeterminadas cero sobre cero o infinito sobre infinito en que luego de aplicar L¨Hôpital en alguno desaparece la indeterminación y en otros sigue, en estos casos se insiste en simplificar antes de volver aplicar L¨Hôpital, logrando resolver el límite de una manera más sencilla.


Ejercicios Encontrar
COMENTARIOS SOBRE LA REGLA DE L´HÔPITAL
¿Siempre se puede obtener el valor del límite usando L´Hôpital?
Se muestra distintos ejemplos que contesta la pregunta, haciendo comentarios a ser tomados en cuenta a la hora de usar la regla de L´Hôpital.

Ejercicios Encontrar

Respuestas
8) 0;   9) 0;   10) -1;   11) 0;   12) – ∞ ;   13) 1;   14) 1;   15) 2;  
ENCONTRAR LÍMITES CERO POR INFINITO USANDO LA REGLA DE L´HÔPITAL
Se muestran ejemplos sencillos de límites que presentan forma indeterminada cero por infinito que pueden ser resueltos simplificando, mostrando que un límite que presenta esta forma puede valer cero, una constante o infinito, entre otras posibilidades. Sin embargo, hay límites con estas formas indeterminadas que no pueden ser resueltos simplificando, tampoco directamente usando e la regla de L´Hôpital pues no se tienen límites de cocientes, entonces se reescriben como un cociente.

Ejercicios Hallar

Respuestas
16) 0;   17) –∞ ;   18) ∞   19) –2 ;   20) 0 ;   21) 2;   22) –∞ ;  
ENCONTRAR LÍMITES UNO A LA INFINITO,
CERO A LA CERO E INFINITO A LA CERO,
USANDO LA REGLA DE L´HÔPITAL


Ejercicios Calcular cada uno de los siguientes límites

Respuestas
23) e -3;   24) e 2;   25) 1;   26) e 2;  
27) No hace falta usar l´Hôpital. Al aplicar la propiedad de la potencia de una potencia y simplificar desaparece la indeterminación.
27) e -1;