Enlaces de interés

Axiomas de orden de los números reales
Demostraciones de algunas leyes importantes de desigualdades y de signos

Intuitivamente conocemos el significado de la relación <, sabemos determinar cuándo un enunciado con este símbolo es cierto o no. Conocemos que -3<6 y 3<5 son enunciados verdaderos. Sin embargo, necesitamos una base, a partir de la cual deduciremos resultados acerca de las desigualdades y las leyes de signos. Así que por un momento dejaremos de lado las nociones que tenemos acerca de la relación <.
Empezaremos admitiendo que en el conjunto de los números reales existe una relación <, que en $x\text{<} y $ la leemos como $ x$ es menor que $ y$, la cual cumple las siguientes propiedades que las llamaremos los axiomas de orden.

Axioma 1. Propiedad de la tricotomía
Para cualesquiera números reales $x$ y $y$, se tiene que uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero
$$ x \text{<}y \; \text{ o } \; x \text{>}y \; \text{ o bien } \; x=y$$

Axioma 2. Propiedad de transitiva
$$ \text{Si } x \text{<}y \; \text{ y } \; y \text{<} z \; \text{ entonces }\; x \text{<}z$$

Axioma 3 Propiedad de monotonía para la suma:
Si $x\text{<}y \; $ entonces $ \; x+z\text{<}y+z \;$ para cualquier número real $ z$

Propiedad de monotonía para la multiplicación
Si $ \; x\text{<}y \;$ y $ z \text{>}0 \; $ entonces $ \; xz\text{<}yz $
Estas leyes de la suma y multiplicación las llamamos de monotonía porque se preserva el sentido de la desigualdad con las condiciones dadas.



Podemos escribir $ x \text{<} y $ de manera equivalente como $ y \text{>} x.$
Así, las propiedades de arriba pueden se escritas usando el signo >, por ejemplo, la propiedad transitiva
          Si $y \text{>} x$ entonces $ y+z \text{>}x+z$


Si $x \text{<}y $ o $ x= y $ escribimos $x \leq y$. De manera similar, $x \text{>}y$ o $x= y$ lo abreviamos como $x \geq y$.

De la ley de tricotomía tenemos que sólo una de las siguientes se cumple $$ x\text{>}0 \; \text{ o } \; x=0 \; \text{ o } \; x \text{<} 0 $$
Definición Diremos que un número es positivo si x>0. Un número es negativo si $x \text{<} 0$.
Nota: Observe que 0 no es positivo, ni negativo. Decimos que 0 no tiene signo.

Proposición Si $z \text{<}0 $ entonces$ -z \text{>}0. $
Demostración $z \text{<}0 $ es equivalente a $0 \text{>}z $. Aplicamos la propiedad aditiva $$ \begin{array}{rcl} 0+(-z) & > & z+(-z) \\ -z & > & 0 \\ \end{array} $$

Ejercicio Demuestre que si z es positivo entonces -z es negativo.

De los axiomas enunciados podemos deducir otras reglas que están en consonancia con nuestras ideas intuitivas de desigualdades y nociones de las leyes de los signos. Muchas de las pruebas se basan en el siguiente lema.

Lema $y-x $ es positivo si y sólo $x \text{<}y $.
Al lado presentamos la demostración de este enunciado junto con la propiedad referente a cuando multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por una cantidad negativa.

Propiedad multiplicativa para un factor negativo
Si $x\text{<}y $ y $ z\text{<}0$ entonces $ xz\text{>}yz$.

Observe que el sentido de la desigualdad se invierte.

Para indicar que $ x$ y $ y $ son positivos escribimos $x,y\text{>}0 $.


Leyes de los signos
Ya hemos demostrado que si $z$ es un número negativo entonces su opuesto es positivo. Al lado enunciamos y demostramos algunas otras leyes de los signos.
Observe como en las demostraciones usamos las propiedades de la adición y multiplicación, los axiomas de orden y las proposiciones ya probadas.

Seguimos con más propiedades de las desigualdades usadas para resolver desigualdades y en otros contextos.
Propiedad sobre las potencias
Sean $ x,y\text{>}0$. Tenemos que $$ x\text{<}y\quad \Leftrightarrow \quad x^2\text{<}y^2 $$

Esta propiedad puede ser escrita como
Propiedad
Para $ x,y\text{>}0$ tenemos que $$ x\text{<}y\quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{x}\text{<}\sqrt{y} $$

Propiedad de los recíprocos para cantidades positivas
Para $ x,y\text{>}0$ tenemos que $$ x\text{<}y\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{x}>\frac{1}{y} $$
Las propiedades de arriba, consecuencias de los axiomas, tienen su versión para los otros signos de desigualdad.

Ejercicio
Enuncie y demuestre una ley de recíprocos para cantidades negativas.

Como ejercicio dejamos las demostraciones de las propiedades que justifican la transposición de términos y factores.

Ejercicio
Demuestre cada una de las siguientes proposiciones
$$ \begin{array}{ll} &1)& \quad a+b\text{<}c \quad \Leftrightarrow \quad a\text{<}b-c \\ &2)&\quad a-b\text{<}c \quad \Leftrightarrow \quad a\text{<}b+c \\ &3) &\quad ab\text{<}c \; \text{ y } \; b>0 \quad \Rightarrow \quad a\text{<}\frac{c}{b} \\ &4)&\quad ab\text{<}c \; \text{ y } \; b<0 \quad \Rightarrow \quad a\text{>}\frac{c}{b} \\ &5)&\quad \frac{a}{b}\text{<}c \; \text{ y } \; b>0 \quad \Rightarrow \quad a\text{<}cb \\ &6)&\quad \frac{a}{b}\text{<}c \; \text{ y } \; b<0 \quad \Rightarrow \quad a\text{>}cb \end{array} $$