ECUACIONES CON UN VALOR ABSOLUTO
Resolución aplicando propiedades



1 Introducción.
2 Proposición de equivalencia
3 Ejemplos
4 Ecuaciones con la variable dentro y fuera del valor absoluto
5 Ejercicios con respuestas


Primero trataremos ecuaciones con un solo valor absoluto y la variable sólo dentro de las barras del valor absoluto como

  $ |x+2|=5$     o    $ | 2x-5 | = 7$

El método que aplicaremos también puede ser extendido a ecuaciones en que la variable también está fuera del valor absoluto como

$ |3x+1|=x+1$



Para resolver estas ecuaciones podemos usar la definición de un valor absoluto, tomamos en cuenta que el valor absoluto deja igual a una cantidad positiva y a una cantidad negativa le cambia el signo.

    Analicemos la primera ecuación, $| x+2 | =5$. Existen dos posibilidades para que este valor absoluto sea igual a 5.

Primera posibilidad: Que la cantidad dentro de las barras del valor absoluto sea positiva. En este caso, como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual, la ecuación quedaría $x+2=5$.

Segunda posibilidad: Que la cantidad entre las barras del valor absoluto sea negativa. En este caso, como el valor absoluto a una cantidad negativa le cambia de signo, la ecuación quedaría $-(x+2)=5$. Multiplicando por menos uno ambos lados de la ecuación obtenemos $(x+2)=-5$.
(
Otra forma de verlo Si en $| x+2 | =5$ la cantidad entre valor absoluto es negativa es porque su valor es menos 5 ).

Resumiendo,
la ecuación $| x+2 | =5$ es equivalente a que $x+2=-5 \text{ o bien } x+2=5$

Pasamos entonces a resolver las dos ecuaciones que nos conducirá al conjunto solución de la ecuación con valor absoluto. $$\begin{array}{rcl} x+2=-5 & \text{ o bien } & x+2=5\\ x=-7 & \text{ o bien } & x=3 \end{array}$$ En definitiva, el conjunto solución de la ecuación con valor absoluto es {$-7,3$}.


Observe que terminamos resolviendo dos ecuaciones sin valor absoluto para encontrar el conjunto solución de la ecuación dada. Para abreviar el proceso de resolución de una ecuación con un valor absoluto, como la dada, establecemos la siguiente proposición de equivalencia:



Proposición Para $c>0$ tenemos

$|expresi \acute{o} n| = c $  
es equivalente a   $ expresi \acute{o} n =- c $     o     $ expresi \acute{o} n = c $



Podemos resolver algunas ecuaciones con valor absoluto aplicando esta proposición de equivalencia.

Veamos ejemplos.


Ejemplo Resolver la ecuación   $ | 2x-5 | = 7$.
Solución Haz clic para ver el desarrollo del paso.
Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo y verificar que el otro miembro se tiene una constante positiva.
Paso 1 El valor absoluto ya está despejado. El otro miembro es una constante positiva.

Aplicar la proposición
Paso 2 La ecuación es equivalente a $$ 2x-5=-7 \; \text{ o } \; 2x-5=-7 $$

Resolver las dos ecuaciones sin valor absoluto planteadas en el paso anterior.
Paso 3 Resolvemos cada ecuación $$ \begin{array}{rcll} 2x-5=-7 & \; o \; & 2x-5=7 \\ 2x=-2 & \; o \; & 2x=12 \\ x=-1 & \; o \; & x=6 \end{array}$$

Establecer el conjunto solución.
Paso 4 El conjunto solución es $\{ -1,6 \}$.




Ejemplo Resolver la desigualdad     $7-4 | 2-x | =-1$.
Solución Haz clic para ver el desarrollo del paso.
Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo y verificar que el miembro derecho es una constante positiva.
Paso 1 $$ \begin{array}{rcll} 7-4|2-x| & = & -1 \\ -4|2-x| & = & -8 \\ |2-x| & = & 2 \end{array}$$ El valor absoluto ya està despejado y el lado derecho es una cantidad positiva.

Aplicar la proposición.
Paso 2 La ecuación es equivalente a $$ 2-x=-2 \quad o \quad 2-x=2 $$

Resolver cada ecuación sin valor absoluto.
Paso 3 Se tiene que resolver dos ecuaciones $$ \begin{array}{rcl} 2-x=-2 & o & 2-x=2 \\ -x=-4& o & -x=0 \\ x=4& o & x=0 \\ \end{array}$$

Establecer el conjunto solución.
Paso 4 El conjunto solución es $\{ 0,4 \}$.





Verdadero o Falso
La ecuación $|x-3|=-6$ es equivalente a $$ x-3=-6 \quad o \quad x-3=6$$
Falso.
  No se puede aplicar la proposición de equivalencia, pues $c=-6$ es un número negativo.
El conjunto solución se determina analizando, un valor absoluto nunca puede ser igual a un número negativo. Por tanto, el conjunto solución es el vacio :$ \varnothing .$




Ecuaciones con la incógnita dentro y fuera de las barras del valor absoluto
Otros tipos de ecuaciones con el valor absoluto en un lado de la ecuación y una expresión en la variable en la otra pueden ser resueltas usando la equivalencia. Tan solo hay que tomar en cuenta que el otro lado debe ser una cantidad no negativa.




Ejemplo Encontrar el conjunto solución de la ecuación $ |3x+1|=x+1$.
Solución Haz clic para ver el desarrollo del paso.
Verificar que el valor absoluto esté de un lado. Establecer la condición que el lado derecho debe ser positivo o cero.
Paso 1
El valor absoluto está despejado.

Para los $x$ tales que $ x+1 \geq 0$ se puede aplicar la proposición de equivalencia.
En los $x$ tales que $x+1 < 0$ no hay soluciones.

Aplicar la proposición.
Paso 2
Para $ x+1 \geq 0$

$\quad \quad |3x+1|=x+1$ es equivalente a $$3x+1=-(x+1) \quad o \quad 3x+1=x+1$$

Resolver las ecuaciones planteadas en el paso anterior.
Paso 3
$$\begin{array}{rcl} 3x+1=-(x+1) & o & 3x+1=x+1\\ 4x=-2 & o &2x=0 \\ x=-\frac{1}{2} & o & x=0 \end{array} $$

Eliminar las soluciones que no satisfacen la condición que el lado derecho debe ser positivo o cero.
Paso 4
Podemos proceder de varias maneras. Cuando se tiene ecuaciones es muy cómodo verificar si las dos soluciones satisfacen la desigualdad $x+1\geq 0$, sustituyendo
$ x=0 $ es solución de la ecuación con valor absoluto, pues para este valor la desigualdad en cierta: $$ 0+1\geq 0$$
$x= -\frac{1}{2} $ es solución de la ecuación con valor absoluto, pues para este valor la desigualdad en cierta: $$ -\frac{1}{2} +1\geq 0$$
Observación. En este caso no se elimina ninguna solución, pues ambas hacen que la expresión del lado derecho de la ecuación sea mayor o igual a cero.

Establecer el conjunto solución.
Paso 5
Conjunto solución $=\{-\frac{1}{2} ,0\}$



En este ejemplo se tiene que las soluciones de las ecuaciones planteadas por la equivalencia son las soluciones de la ecuación con valor absoluto.

Otras situaciones se pueden presentar. Dejamos como ejercicio verificar los detalles de los siguientes.


Ejemplo El conjunto solución de la ecuación $ |1-4x|=2x-5$ es vacio, pues las soluciones de las ecuaciones planteadas al aplicar la propiedad, $x=1$ y $x=-2$, no satisfacen la condición que el lado derecho sea positivo o cero: $2x-5\geq 0$.


Ejemplo El conjunto solución de la ecuación $ |x-1|=2x+1$ es $\{0\}$, ya que en las soluciones de las dos ecuaciones planteadas al aplicar la propiedad, $x=-2$ y $x=0$, se debe eliminar la solución $x=-2$ pues no cumple la condición que el lado derecho sea positivo o cero: $2x+1\geq 0$. ($2(-2)+1=-3<0$).





Ejercicios Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones. $$ \begin{array}{rll} &{\bf 1.1)}\quad \left|x+2 \right|=5 & \quad \qquad\qquad &{\bf 1.2)}\quad \left|3x+1 \right| =5 \\ &{\bf 1.3)}\quad \frac14-2\left| x+2 \right| = 0 & \qquad &{\bf 1.4)}\quad \left| x-2 \right| = -3 \\ &{\bf 1.5)}\quad \left| x+2 \right| +7= 0 & \qquad &{\bf 1.6)}\quad \left| \frac{3-x}3 \right| -2 = 0 \\ &{\bf 1.7)}\quad \left| x+1 \right| =2x+1 & \qquad &{\bf 1.8)}\quad \left| x^2-9 \right| =0 \\ &{\bf 1.9)}\quad \left| x^2+6x+4 \right| = 4 & \qquad &{\bf 1.10)}\quad \left| 3x+1\right|+ 1-x= 0 \\ \end{array} $$
Haz clic para ver las respuestas.
$$ \begin{array}{llllll} &1.1)& \{ 3,-7 \} &1.2)& \{ -2,\frac {4}{3} \} & 1.3)& \{ -\frac {17}{8}, -\frac {15}{8} \} \\ &1.4)& \varnothing &1.5)& \varnothing & 1.6)& \{ -3,9 \} \\ & 1.7)& \{0 \} & 1.8)& \{ 0,1 \} &1.9)& \{ 0, -2,-4,-6 \} \\ &1.10)& \varnothing \end{array}$$


       
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