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Definición y propiedades del valor absoluto

Introducción

Para darle sentido a la definición del valor absoluto de un número podemos pensar en la distancia entre un punto con coordenada
y el origen en la recta numérica.

       
Recuerde que la distancia es siempre positiva o 0.

La distancia de un punto al origen no toma en cuenta el signo de la coordenada.
Algebraicamente, para el punto con coordenada $-2$, como es negativa, la distancia al origen es el inverso aditivo $-(-2)$. Si $a=-2$, esta distancia la podemos escribir como $-a$. En general, para cualquier punto con coordenada $a$ negativa, la distancia al origen es igual a $-a$. En cambio, para cualquier punto con coordenada positiva, $a$, la distancia es el mismo número $a$.
De una manera similar se comporta el valor absoluto de un número $a$.

Definición del valor absoluto o módulo de un número

El valor absoluto o módulo de un número $x$, representado por $|x|$ es igual a $x$ si el número es positivo o 0 y es igual a $-x$ si el número es negativo. El signo "-" opera en $x$ cambiándolo a positivo.
Esto lo escribimos de la siguiente manera

Definición $$|x|=\left\{\begin{matrix} x ,& \text{si }x\geq 0\\ -x, & \text{si }x< 0 \end{matrix}\right.$$

$|x|$ se lee como el valor absoluto de x.

Ejemplos Escriba sin usar el símbolo del valor absoluto.

Pasa el puntero sobre la expresión para ver el resultado.

              


En algunos números no es tan evidente su signo. Es por eso que hay que tomar especial cuidado al tomar valor absoluto.

Ejemplo Escriba $|3-\pi|$ sin usar valor absoluto.
Solución
Determinar el signo al número $3-\pi$
Determinamos el signo aproximando el número $\pi$ por $3,14$ $$3-\pi \approx 3-3,14=-0,14 $$ El número es negativo.

Aplicar la definición.
Como el número $3-\pi$ es negativo, el valor absoluto le cambia de signo: $$|3-\pi|=-(3-\pi) $$





Para evaluar expresiones numéricas con valores absolutos, tomaremos en cuenta que ellas se comportan como los signos de agrupación. Así que primero determinaremos el valor de la expresiones entre las barras, siguiendo la jerarquía de las operaciones combinadas.

Ejemplo Simplifique $$2|3-3\cdot 5| +6$$ Solución
Haz clic para ver el desarrollo del paso.
Determinar el valor de la expresión entre las barras del valor absoluto.
Paso 1
Determinamos el valor de la expresión entre las barras siguiendo el orden de las operaciones:
1º Signos de Agrupación; 2º Exponentes y raíces; 3º Multiplicaciones y divisiones; 4º Sumas y restas
$$\begin{array}{rcl} 2|3-3\cdot 5| +6 &=& 2|3-15| +6\\ &=& 2|-12| +6\\ \end{array}$$
Aplicar la definición del valor absoluto para eliminarlo.
Paso 2 $$\begin{array}{rcl} 2|3-3\cdot 5| +6 &=& 2|-12| +6\\ &=& 2\cdot 12 +6\\ \end{array}$$
Determinar el valor de la expresión resultante.
Paso 3 $$\begin{array}{rcl} 2|3-3\cdot 5| +6 &=& 24 +6\\ &=& 30\\ \end{array}$$







Muchas calculadoras tienen la tecla Abs para evaluar valores absolutos, también muchos programas de Matemática trabajan con la función Abs( ).

Puedes ver en el botón como se codificaría la expresión numérica del ejemplo anterior para muchos programas.
Codificación           2*abs(3-3*5)+6







Para eliminar el símbolo del valor absoluto cuando entre las barras hay una expresión en una variable se debe tomar en cuenta los valores de la variable que hacen que la expresión sea positiva y los valores de esta literal en que la expresión es negativa.

Ejemplo
a)
Determine todos los valores de la variable para los cuáles $|2x+6|=-(2x+6)$.
Solución
Se quiere determinar los valores de la variable en que el valor absoluto le cambia el signo a la expresión $2x+6$. Esto ocurre si y sólo si la expresión entre las barras es negativa.
Plantear cuando la expresión entre las barras es negativa, en términos de una desigualdad.
$$2x+6<0$$

Resolver la desigualdad planteada.
$$\begin{array}{rl} 2x+6&<&0\\ 2x&<&-6\\ x&<&-3 \end{array}$$

Responder.
Si $x <-3$ se tiene que $$ |2x+6|=-(2x+6)$$


b) ¿Para cuáles valores de la variable se tiene que $|2x+6|=2x+6$?

Tenemos que $x<-3$ si y sólo si $2x+6$ es negativo.
Por consiguiente, $x\geq -3$ si y sólo si $2x+6$ es positivo o 0.

Así que si $x\geq -3$ tenemos que $$ |2x+6|=2x+6$$





Ejercicio Escriba $|3-x|$ sin usar valor absoluto.
Solución
Expresaremos $|3-x|$ en la forma de la definición dada del valor absoluto.
Determinar los valores de la variable, $x$, que hacen que la expresión entre las barras sea negativa.
Paso 1 $(3-x)$ es negativa si y sólo si $3-x<0$.
Resolvemos la desigualdad: $$ 3 {\;< \;} x $$ En definitiva, $(3-x)$ es negativa si y sólo si $x>3$.
Puntualizar los valores de la variable, $x$, que hacen que la expresión entre las barras sea positiva o 0.
Paso 2
En el complemento del conjunto del conjunto anterior: $x\leq 3$ se tiene que la expresión $3-x$ es positiva.
Escribir $|3-x|$ en la forma de la definición.
Paso 3 $$|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x ,& \text{si }x\leq 3\\ -(3-x), & \text{si }x >3 \end{matrix}\right.$$






Como $x^2$ es un número positivo, independientemente del signo de $x$ y $\sqrt{* }$ representa la raíz cuadrada positiva, tenemos la siguiente expresión algebraica para definir el valor absoluto


Definición alternativa $$|x|=\sqrt{x^2}$$


Ejemplos
Pasa el puntero sobre la expresión para verificar que las definiciones coinciden en los ejemplos.
 

Esta forma de escribir la definición es particularmente útil para demostrar algunas propiedades del valor absoluto.





Propiedades del valor absoluto

Propiedades inmediatas

Primero establecemos algunas propiedades elementales que siguen de la definición.

Propiedades
1  $|a| =0 \; \Leftrightarrow \; a=0$
2  $|a| \geq 0 $
3  $|-a|= |a|$

De la propiedad 3 aplicada a $a-b$ tenemos la siguiente
Propiedad 4  $|b-a|= |a-b|$
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Propiedades del valor absoluto sobre las operaciones elementales

Veamos algunas propiedades de cómo se comporta el valor absoluto frente a las operaciones elementales.
Proposición
5  $|a\cdot b| =|a| |b| $     Propiedad multiplicativa
6  $|\frac ab| =\frac{|a|}{ |b|} $, $\quad b\neq 0$
7  $|a^n| =|a|^n, \quad $ para $n$ entero positivo o cero.

Demostración 5
Haremos uso de la definición algebraica del valor absoluto y de las propiedades de los exponentes y radicales.
$$|xy|=\sqrt{(xy)^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{y^2}=|x||y|$$

Se puede probar 6 de manera similar a 5.

Demostración 7   Para $n=0$ la igualdad es evidente. La demostración para enteros positivos se basa en aplicar la definición de exponente positivo y la propiedad multiplicativa del valor absoluto $$|x^n|=|x\cdot x \cdots x|=|x|\cdot |x| \cdots |x|= |x|^n$$


Decimos que el valor absoluto preserva las operaciones de la multiplicación, división y potenciación. Pero este comportamiento no lo tiene frente a la suma y resta.

Desigualdad triangular $$|a+b|\leq |a|+|b|$$
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Propiedades que ayudan a resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

La idea de resolver ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos es transformar el problema en resolver ecuaciones sin valor absoluto. En determinadas ecuaciones e inecuaciones podemos aplicar alguna de las siguientes propiedades para quitarlos.

Teorema     Para $c>0$ tenemos
$$|x| = c \quad \Leftrightarrow \quad x =- c \quad o \quad x = c $$
Ella sigue de la propia definición del valor absoluto.


Teorema    
$$|x| =|y| \quad \Leftrightarrow \quad x =y \quad o \quad x =-y $$
Los valores absolutos de dos números son iguales si y sólo si los números son iguales o uno es el opuesto del otro.


Teorema
    Para $c>0$ tenemos que
$$ \begin{array}{ll} a)& |x| \leq c \quad \Leftrightarrow \quad -c \leq x \leq c \\ b)& |x| < c \quad \Leftrightarrow \quad -c < x < c \end{array} $$
Demostración $a$
$(\Rightarrow )$ Asuma que $|x|\leq c$. Hay que demostrar que $-c\leq x$ y $x\leq c$

Como $x\leq |x|$, tenemos por transitividad que $x\leq c$

Para la otra desigualdad partimos del hecho que $-x\leq |x|$, de aquí $x\geq -|x|$, de la hipótesis tenemos que $-|x|\geq -c$, usando de nuevo transitividad tenemos $x\geq -c$, esto es $-c\leq x$
$(\Leftarrow)$ Asumimos que $-c \leq x \leq c$. Para demostrar que $|x| \leq c$ analicemos las dos posibilidades.

♦ $x \geq 0$
Usaremos que $ x \leq c$ Como $|x|=x$ tenemos $|x| \leq c$

♦ $x < 0$
En este caso tenemos que $|x|=-x$. Usaremos que $ -c \leq x$, ella es equivalente a $ c \geq -x$, de aquí $ c \geq |x|$, esto es $|x| \leq c$


Si trabajamos con complementos podremos usar el teorema anterior para probar el siguiente
Teorema
    Para $c>0$ tenemos que
$$ \begin{array}{ll} a) & |x| \geq c \quad \Leftrightarrow \quad x\leq -c \quad o \quad x \geq c \\ b) & |x| > c \quad \Leftrightarrow \quad x > -c \quad o \quad x> c \end{array} $$



Teorema    
$$|x| < |y| \quad \Leftrightarrow \quad x ^2 < y^2 $$
Demostración
$(\Rightarrow )$ De $|x|< |y|$ tenemos que $$|x|\cdot |x|< |y| \cdot |x| \quad y \quad |x|\cdot |y| < |y| \cdot |y|$$ Por transitividad $$|x|\cdot |x| < |y| \cdot |y|$$ Esto es $$|x|^2 < |y|^2$$ $$|x^2|< |y^2|$$ Como $x^2$ es positivo o cero tenemos $$x^2 < y^2$$
$(\Leftarrow) $ \begin{array}{lcl} x^2< y^2 & \Rightarrow & |x^2|< |y^2| \\ &\Rightarrow & |x|^2< |y|^2 \\ &\Rightarrow & |x|^2- |y|^2< 0 \\ &\Rightarrow & (|x|- |y|)(|x|+ |y|) < 0 \\ &\Rightarrow & (|x|- |y|) < 0 \\ &\Rightarrow & |x|< |y| \end{array}




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