Versión anterior del primer video

Video 1
Resolver logarítmicas
Método de la inversa y de la función biunívoca

Se dan estrategias generales para resolver algunos tipos de ecuaciones logarítmicas. Particularmente se resuelven ecuaciones logarítmicas que tienen o pueden ser llevadas a la forma un logaritmo igual a otro con las mismas bases. Entonces como la función logarítmica es biunívoca o uno a uno se igualan los argumentos de los logaritmos, se resuelve la ecuación resultante. Se debe descarta las soluciones que hacen algún argumento de la ecuación original no positivo. No hace falta comprobar cada solución verificando la igualdad, sólo se eliminan aquellas soluciones en que algún argumento sea negativo o cero.

Video 1
Resolver ecuaciones logarítmicas
Método de la inversa y de la función biunívoca
Se presentan dos ejemplos de ecuaciones logarítmicas, ambas con más de un logaritmo. En el video se recuerda los dos métodos para resolver ecuaciones logarítmicas: el que usa la definición del logaritmo, que es la inversa de la exponencial y el método que usa el hecho que la función logarítmica es biunívoca, que permite justificar que si dos logaritmos son iguales entonces sus argumentos son iguales.
Estos métodos requieren que estén en una forma particular. Así que cómo primer paso hay que conseguir la forma que se considere más conveniente, para eso se aplican las propiedades de los logaritmos.
Se insiste en verificar las soluciones encontradas en la original, eliminando aquellas soluciones que hagan algún argumento no positivo.


Ejercicios para después del video
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones, emplee el procedimiento que considere más apropiado.
$ 1.1)\ \log(x+3)=2\log(x-3); \\ 1.2) \ 2\ln(x-3)-\ln(x+1)=\ln(x-6) \\ 1.3)\ \log(x)+\log(2x-1)=2\log(x-2); \\ 1.4) \ \log(x+1)= \log(x)+1; $
Pulsa el botón para ver las respuestas

Respuestas
$ 1.1) \ x=6. $ ( $x=1$ es una solución extraña)
$1.2) \ 15 $
$1.3) $ No tiene soluciones.
    $ x=1$ y $ x= -4$ son soluciones extrañas a la original
$1.4) \ x=\frac{1}{9} $

Ecuaciones logarítmicas

Una estrategia para resolver determinadas ecuaciones con logaritmos es llevarlas a la forma logarítmica o la forma un logaritmo igual a otro, para eso se considera usar propiedades de los logaritmos entre otros pasos. Luego, si está en la forma logarítmica se puede resolver pasándola a la forma exponencial. Si está en la forma un logaritmo igual a otro, se usa el hecho que la función logarítmica es biunívoca, (uno a uno), para igualar los argumentos, resolviendo la ecuación resultante.

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Usando factorización para resolver algunos tipos de ecuación con logaritmos

En algunas ecuaciones en que el logaritmo no aparece de manera lineal puede resultar resolverla al llevarla a la forma
Un producto igual a cero
Entonces se plantea y se resuelve las ecuaciones factores iguales a cero.

Para factorizar el lado que no es cero se considera los distintos mètodos: factor común, producto notable, Ruffini.

Muchas ecuaciones se pueden resolver al tener iguales argumentos. Si no los tienen, considere aplicar propiedades de los logaritmos


Ejemplo
Resolver
$ \ \log(x^4)= \left (\log(x) \right )^2 $
Aplicar propiedades de los logaritmos para tener los mismos argumentos

Paso 1 En el miembro izquierdo se aplica la propiedad del logaritmo de una potencia
$ 4\log(x)=\left ( \log(x) \right )^2 $
Cada argumento es igual a $x$.
Llevarlo a la forma un producto igual a cero
Paso 2 El miembro izquierdo pasa restando. Se escribe la ecuación de derecha a izquierda
$ \left ( \log(x) \right )^2-4\log(x) =0 $
Se factoriza el miembro izquierdo, sacando $\log(x)$ de factor común
$ \log(x) \cdot \left ( \log(x) -4 \right )=0$

Plantear las ecuaciones factores iguales a cero y resolverlas
Paso 3 Un producto es cero si un factor es cero o el otro es cero.
$ \log(x) =0$   o bien   $ \log(x) -4 =0$
La solución de la primera ecuación es $x=1$.
Para encontrar la solución de la segunda, despejamos el logaritmo
$ \log(x) =4$
Lo llevamos a la forma exponencial:   $10^4=x$. Se tiene que la solución de la segunda ecuación es $x=10.000$.

Eliminar las soluciones que hagan no positivo algún argumento. Concluir
Paso 4 Eliminar las soluciones que hagan no positivo algún argumento. Concluir
Ni en $x=1$, ni en $x=10.000$   los argumentos toman valores no positivos.

En conclusión,
Conjunto Solución= { 1, 10.000}


Ejercicios para practicar Resolver
a)$ \ {\mathrm{log}\left( x+1\right) }^{2}-3\,\mathrm{log}\left( x+1\right) +2=0$
b) $ \ \sqrt{\mathrm{log}(x-1)}=\mathrm{log}(\sqrt{x-1})$


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Respuesta a) $\{ 99, 9\} $
b) $ \{10^4+1,2 \}$