Dominio de funciones logarítmicas
y de funciones que las contienen


Como la función exponencial $f(x)=b^x$ tiene como inversa la función logarítmica $f^{-1}=\log_b(x)$, se tiene que
        Dominio de $\log_b = $ Rango de $ \ f =(0,\infty)$

Se puede ver que los puntos que conforman el gráfico de la función logarítmica corresponden a puntos con abscisas positivas y para cualquier $ x$ positivo, hay un punto de la gráfica con esta abscisa.
Así pues, sólo tiene sentido evaluar logaritmos en números positivos. El argumento del logaritmo debe ser mayor que 0. Esto es válido para cualquier base permitida. Así el dominio de la función logaritmo neperiano, o decimal, o de base por ejemplo $1/2$ es $(0,\infty)$.


La función $g(x)=\log(x-3)$ no está definida en $x=1$, pues el argumento del logaritmo, $1-3=-2$, es un número negativo. $x=1$ no está en el dominio de la función $g$.
(Verifica que la calculadora te manda un mensaje de error cuando quieres calcular $\log(1-3)$.)

Dada una función con logaritmos, se quiere determinar el conjunto de todos los números reales donde la función está definida y es un número real, esto es, se quiere hallar el dominio de la función.
A la función $g(x)=\log(x-3)$ le podemos hallar su dominio de manera geométrica, pues la gráfica de la función puede ser obtenida por una traslación hacia la derecha de la gráfica de $y=\log(x)$





No toda función con logaritmos se le puede graficar tan fácilmente, incluso se puede requerir el dominio para determinar la gráfica. En lo que sigue se hallará el dominio de funciones con logaritmos analíticamente, esto es, a través del planteamientos y resolución de ecuaciones e inecuaciones y operaciones conjuntista entre los conjuntos solución encontrados. Empecemos por la función sencilla planteada.




Ejemplo
Determinar el dominio de $ \ g(x)=\log(x-3)$
Solución
Plantear la inecuación ARGUMENTO DEL LOGARITMO $ >0$.
$$x-3>0$$

Identificar y resolver la inecuación resultante.
La inecuación es lineal, se despeja la variable $$x>3$$

Concluir.
Dom $g =(3,\infty)$. Siempre es conveniente hacer una representación gráfica del dominio. La zona rayada es la representación del dominio




Recuerda que si una función puede ser interpretada como una suma, diferencia o producto de dos funciones $f=(f_1+f_2)$, entonces el dominio puede ser calculado determinando el dominio de $f_1$ y de $f_2$, para luego interceptarlos. $$\text{Dom }\ f= \text{Dom }\ f_1 \cap \text{Dom }\ f_2$$ A continuación presentamos un ejemplo de una función que puede ser interpretada como la suma de dos funciones.



Ejemplo
Halle el dominio de $ \ f(x)=\sqrt{3-x} +\ln(x) $.
Solución
La función puede ser vista como la suma de dos funciones $$f_1(x)=\sqrt{3-x} \; \text{ y } \; f_2(x)=\ln(x)$$ Determinar el dominio de $f_1$
Como la función $f_1(x)=\sqrt{3-x}$ tiene un radical, se plantea $$Radicando \geq 0$$ $$3-x \geq 0$$ Se resuelve la desigualdad planteada, es lineal, se despeja la variable $$3 \geq x$$ En definitiva $$\text{Dom}\ \sqrt{3-x} = (-\infty,3]$$

Determinar el dominio de $f_2$
De una vez sabemos que $$\text{Dom}\ \ln(x) = (0,\infty)$$

Se toma la intersección, la parte común, de los conjuntos determinados en 1 y 2

Graficamos ambos conjuntos en la recta real.
La zona rayada es la representación del dominio
Vemos que la intersección, la parte común es $$(0,3]$$

Concluir, señalando cuál es el dominio de la función

$$Dom\ f= (0,3] $$


Ejercicios Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones
a) $f(x)=x\ln(x+2)$;
b) $g(x)=\frac{x-3}{x-1}+\ln(x+2)$;
c) $h(x)=\sqrt{x^2-1}+\ln(-x)$;

Respuestas
a) $\text{Dom}\ f = (-2,\infty)$
b) $\text{Dom}\ g = (-2,1)\cup (1,\infty)$
c) $\text{Dom}\ h = (-\infty,-1]$





Para funciones que pueden ser interpretadas como el cociente de dos funciones, $f=\frac{f_1}{f_2}$, hay que hacer una consideración adicional: que los valores de la función del denominador sean distintos de cero. Entonces el dominio puede ser calculado determinado el dominio de $f_1$ y de $f_2$, luego interceptarlos y quitarle los $x$ donde el denominador se anule. $$\text{Dom }\ f= \text{Dom }\ f_1 \cap \text{Dom }\ f_2-\{x| \; f_2(x)=0\} $$



Ejemplo
Halle el dominio de $ f(x)=\frac{x^2-4}{\ln(x-1)-5} $
Solución
La función puede ser vista como el cociente de funciones $$ f_1(x)=x^2-4 \text{ entre } f_2(x)=\ln(x-1)-5 $$ Determinar el dominio de $f_1$
$f_1$ es un polinomio, su dominio son todos los reales.

Determinar el dominio de $f_2$
La función $f_2(x)=\ln(x-1)-5$ puede ser interpretada como un diferencia de dos funciones, $\ln(x-1)$ menos $5$. Es fácil verificar que el dominio de $ \ln(x-1)$ es $(1,\infty)$, el de $5$ todos los reales, por tanto, al interceptarlos, claramente vemos que Dominio $f_2=(1,\infty)$

Se toma la intersección, la parte común, de los conjuntos determinados en los pasos 1 y 2

Claramente $$\text{Dom }\ f_1 \cap \text{Dom }\ f_2= (1,\infty)$$ Falta quitar los $x$ donde el denominador se anula.

Quitar al conjunto anterior los $x$ donde el denominador se hace 0.

Primero veamos donde el denominador se anula. Se plantea la ecuación $denominador=0$ $$ \ln(x-1)-5=0$$ y se resuelve. Se despeja el logaritmo $$\ln(x-1)=5$$ Se lleva a la forma exponencial. La base es $e$, el exponente $5$ $$e^5=x-1$$ Quedó una ecuación lineal que se resuelve despejando la variable $$x=e^5+1$$ Finalmente, el dominio de $f$ es el conjunto del paso 3 menos el número $e^5+1$, esto lo podemos escribir en notación de intervalos como $$Dom\ f = (1,e^5+1)\cup (e^5+1,\infty)$$


Ejercicios Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones
a) $ f(x)= \frac{ \ln (x+1) } {x-3} $;
b) $g(x)=\frac{x-4}{\ln(x-2)}$;
c) $h(x)= \frac{ \sqrt{1-x^2}}{\ln(-x)}$;


Respuestas
a) $\text{Dom}\ f = (-1,3)\cup (3,\infty)$
b) $\text{Dom}\ g = (2,3) \cup (3, \infty)$
c) $\text{Dom}\ h = (-1,0)$
Hay que quitar $x=-1$ en el dominio de $h$, pues el denominador se anula en este valor.
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El dominio de funciones compuestas del tipo $\log_b(g(x))$ es el conjunto de las $x$ para las cuales $g(x)>0$ y $x\in Dom\ g$. Esto es para cualquier base. En notación de conjunto $$Dom \log_b(g(x))=\{ x | \ g(x)>0 \} \cap Dom \ g$$ En el siguiente ejemplo trabajaremos con logaritmos naturales o neperianos, de base $e$.

Ejemplo
Halle el dominio de $ \ f(x)=\ln(x^2-3x-4) $
Solución La función puede ser vista como la composición de dos funciones.
Se determina el dominio de la función interna,
La función interna, $h_{int}(x)=x^2-3x-4$ es un polinomio, por tanto su dominio es $R$

Se determinan las $x$ para las cuales el argumento del logaritmo es mayor a 0
Planteamos la inecuación $$\text{Argumento del logaritmo } >0$$ $$x^2-3x-4>0$$ y la resolvemos. Es una inecuación cuadrática.
1) Determinamos los ceros, $x^2-3x-4=0$. Podemos usar la fórmula cuadrática, pero es más sencillo por factorización $$(x-4)(x+1)=0$$ Por la propiedad multiplicativa del cero, se tiene $$x-4=0 \quad o \quad x+1=0$$ De aquí, las soluciones de la ecuación cuadrática son $-1$ y $4$
2) Señalamos los cero en la recta real, remarcando los intervalos en que queda dividida la recta real. El circulo sin relleno es para indicar que los puntos no están en el dominio
3) Tomamos valores de prueba en cada intervalo y los evaluamos en el polinomio $x^2-3x-4$. Se anota el signo resultante. En el primer  y tercer intervalo el polinomio toma valores positivos
4) Se concluye. Como la desigualdad es del tipo $>0$, el conjunto solución de la desigualdad planteada es la unión de los intervalos donde la evaluación resultó positiva. Esto es $$(-\infty,-1)\cup (4,\infty)$$ En este conjunto el argumento del logaritmo es positivo.

Se toma la intersección, la parte común, de los conjuntos determinados en 1 y 2

En este caso es muy fácil visualizar, por ser uno de los conjuntos todos los reales, la intersección es el otro conjunto.
$$ \{ x | \ x^2-3x-4>0\} \cap Dom (x^2-3x-4 ) = (-\infty,-1)\cup (4,\infty) $$

Concluir, señalando cuál es el dominio de la función

$$Dom\ f=(-\infty,-1)\cup (4,\infty)$$ Usamos la notación de paréntesis para indicar que los puntos no están en el dominio


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En el siguiente ejemplo tenemos una función logaritmo de una función que contiene otro logaritmo, una función compuesta del tipo $\ln(h)$

Ejemplo
Halle el dominio de $f(x)=\ln(\ln(x)+1) $
Solución
La función puede ser vista como la composición de dos funciones.
Se determina el dominio de la función interna,
La función interna, $h_{int}(x)=\ln(x)+1$, se interpreta como la suma de $\ln(x)$ con $1$. El dominio es la intersección del dominio de $\ln(x)=(0,\infty)$ y el dominio de $1$, que es $R$.
En definitiva, $$\text{Dom}\ h_{int}= (0,\infty)$$

Se determinan las $x$ para las cuales el argumento del logaritmo es mayor a 0
Planteamos la inecuación $$\text{Argumento del logaritmo } >0$$ $$\ln(x)+1>0 $$ Esto es, $$\ln(x)>-1$$ Analizamos la desigualdad geométricamente, graficando $y=\ln(x)$
Vemos que el logaritmo es mayor que $-1$ a partir de la $x$ en que $\ln(x)=-1$. Al resolver esta ecuación encontramos que $$x=e^{-1}$$ En definitiva, $$\ln(x)+1>0 \text{ si y solo si } x\in (e^{-1},\infty)$$

Se toma la intersección, la parte común, de los conjuntos determinados en los pasos 1 y 2

Graficamos ambos conjuntos en la recta real
Usamos la notación de paréntesis para indicar que los puntos no están en el dominio
Vemos que la intersección, la parte común es $$ \{ x | \; \ln(x)+1>0\} \cap Dom \left (\ln(x)+1 \right )= (e^{-1},\infty)$$

Concluir, señalando cuál es el dominio de la función

$$Dom\ f= (e^{-1},\infty)$$



En el siguiente ejemplo tenemos una función que es la raíz de una función que contiene logaritmo, una función compuesta del tipo $\sqrt{h}$. El dominio es el conjunto de las $x$ para las cuales $h(x)\geq 0$ y $x\in Dom\ h$.



Ejemplo
Halle el dominio de $f(x)=\sqrt{2-\ln(x)} $
Solución

Se determina el dominio de la función interna,
La función interna, $h_{int}(x)=2-\ln(x)$, se interpreta como la diferencia de $\ln(x)$ con $2$. El dominio es la intersección del dominio de $\ln(x)=(0,\infty)$ y el dominio de $2$, $R$.
En definitiva, $$\text{Dom}\ h_{int} = (0,\infty)$$

Se determinan las $x$ para las cuáles el radicando es mayor o igual a 0
Planteamos la inecuación $$\text{Radicando } >0$$ $$2-\ln(x)\geq 0 $$ Esto es, $$2 \geq \ln(x) $$ Analizamos la desigualdad geométricamente, graficando $y=\ln(x)$

Vemos que el logaritmo es menor o igual a $2$ antes de la $x$ en que $\ln(x)=2$. Al resolver esta ecuación encontramos que $$x=e^{2}$$ En definitiva, $$2-\ln(x)\geq 0 \text{ si y solo si } x\in (0,e^{2}]$$ Observe que ya estamos considerando el dominio de $\ln(x)$. Así que el paso 3 no haría falta, sin embargo, para ser metódicos lo consideramos

Se toma la intersección, la parte común, de los conjuntos determinados en 1 y 2

Graficamos ambos conjuntos en la recta real

Vemos que la intersección, la parte común es $$\{ x | \; 2-\ln(x)>0\} \cap Dom(2-\ln(x))= (0,e^{2}]$$

Concluir, señalando cuál es el dominio de la función

$$Dom\ f= (0,e^{2}] $$

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