Fórmula de distancia entre
dos puntos en el plano cartesiano

Problemas

Video 1
FÓRMULA DE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Demostración y ejemplo

Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce la fórmula de distancia entre estos dos puntos. La demostración usa el teorema de Pitágoras. Un ejemplo muestra cómo usar la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos dadas sus coordenadas La distancia entre dos puntos $P_1$ y $P_2$ del plano la denotaremos por $d(P_1,P_2)$. La fórmula de la distancia usa las coordenadas de los puntos.

Para $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$ se tiene que $$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+ (y_2-y_1)^2 }$$



Ejercicios para después del video
1) Determine la distancia entre cada par de puntos dados usando la fórmula de distancia.
1.1) (1,2) y (-3,4)     1.2) (-3,0) y (-4,6)

2) Para los pares de puntos dados en cada figura
a) Estime las coordenadas de los puntos $P_1$ y $P_2$.
b) Estime la distancia entre $P_1$ y $P_2$ usando la fórmula de distancia
   
1.1) $2\sqrt{5}; \quad$ 1.2) $\sqrt{37}$



2.1 a) (1,1) y (3,3); b) 2√2
2.2 a) (–1,3) y (5, –3); b) 6√2
2.3 a) (–4, –2) y (0, –3); b) √17


   

ANIMACIÓN 1
PROBLEMA RESUELTO

Usando la fórmula de distancia probar que tres puntos dados en el plano cartesiano definen los vértices de un triángulo rectángulo. Encontrar el área.

Para determinar si el triángulo es rectángulo nos valemos del recíproco del teorema de Pitágoras.

Recíproco del teorema de Pitágoras
Si en un triángulo el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados entonces el triángulo es rectángulo


Para encontrar el área de un triángulo podemos primero determinar la altura y la base del triángulo. Si el triángulo es rectángulo, entonces cualquiera de los catetos puede ser visto como la base y el otro, la altura.

En un triángulo que sabemos que es rectángulo, el lado de mayor longitud es la hipotenusa, por consiguiente el ángulo opuesto a éste es el ángulo recto y los otros lados, claro está, los catetos. Podemos ver en la igualdad del recíproco del teorema de Pitágoras cuál es el lado mayor.


Ejercicios para después de la animación
3) Demuestre que los puntos A(1,0), B(2,-5) y C(-1,-3) son los vértices de un triángulo rectángulo. Encontrar el área.

   Área= 13/2


   

TRADUCCIÓN AL LENGUALE ALGEBRAICO

En muchos de los problemas de distancia entre dos puntos un paso fundamental es la traducción al lenguaje algebraico.

Ejemplo 2 Sea P(x,3) un punto del plano cartesiano, exprese la distancia del punto P al punto (4,3) en términos de x.

Ejemplo 3 Sea P un punto con coordenada y igual a 4. Exprese la distancia del punto P al punto (2,3) en términos de la coordenada x del punto P.

Ejemplo 4 Sea P un punto sobre el eje y. Exprese la distancia del punto P al punto (-1,4) en términos de la coordenada desconocida

Soluciones






   


PROBLEMAS EN QUE SE PIDE ENCONTRAR LAS COORDENADAS DE PUNTOS DADAS ALGUNAS INFORMACIONES SOBRE DISTANCIAS

Video elemental en que explica cómo a partir de la ecuación centro radio (canónica) de una circunferencia se obtiene el centro y el radio de una circunferencia y de allí graficar la ecuación.

En muchos de los problemas planteados se pide determinar completamente las coordenadas de puntos P cuya distancia a otro punto A es k, conocida.. Este tipo de problema se puede resolver planteando y resolviendo una ecuación del tipo

       $ d(P,A)=k$


Ayuda. Los problemas de esta sección se pueden resolver planteando una sola ecuación en una sola variable. Puntualice las dos coordenadas del punto $(x,y)$ a encontrar, muchas veces dan la información de una coordenada.

Ejercicios para después del video
4) Encontrar todos los puntos $ P(x,3)$ que distan 5 unidades del punto $(3,4).$
5) Determine todos los puntos cuya coordenada $x$ es igual a 4 y la distancia al punto $(4,-3)$ es de 2 unidades.
6) La ordenada de un punto en el segundo cuadrante es 4 y está a 3 unidades del punto $(2,5)$. Determine la otra coordenada del punto.
7) ¿Cuáles son los puntos con coordenada x igual a 4 y que están a 4 unidades del punto $(2,3)$?
8) Determine todos los puntos sobre el eje x cuya distancia al punto $(3,-2)$ sea 3 unidades.

Tenemos la noción de cuando un punto equidista de otros dos, podemos formular esta definición en términos matemáticos.

Un punto P es equidistante de otros dos puntos, $P1, P2$, si cumple
$$ d(P,P1)=d(P,P2 )$$

9) Encuentre un punto sobre el eje y que es equidistante de los puntos $(5,-3)$ y $( -2,4)$.
10) Encuentre un punto P` sobre el eje x, tal que el punto $(3,2)$ es equidistante de los puntos $P`$ y $(4,4)$.

Hasta aquí, los problemas planteados daban la información completa de una de las dos coordenadas. Se puede plantear encontrar los puntos, cuyas coordenadas están relacionadas. Esta relación puede venir dada de forma verbal, ver problema 11, o a través de una ecuación, problema 12

11) Encuentre un punto, $P$, tal que la coordenada y es el doble que su coordenada x y la distancia P al punto (1,5) es 3 unidades.
Punto a buscar de la forma (x,2x)
Ecuación: d((x,2x), (1,5)) = 3
Al emplear la fórmula obtenemos la ecuación
   
Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos una ecuación cuadrática, la llevamos a la forma general y de allí aplicamos la fórmula cuadrática, obteniendo dos soluciones x1=1 y x2=17/5.

Respuesta: Hay dos puntos (1,2) y (17/5, 34/5)


12) Encuentre el punto sobre la recta y= 2x+5, tal que equidista de los puntos (1,4) y (0,1).
Punto a buscar de la forma (x,2x+5)
Ecuación: d( (x,2x+5), (1,4) ) = d( (x,2x+5), (0,1) )
Al emplear la fórmula obtenemos la ecuación
   
Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos una ecuación con apariencia cuadrática, desarrollamos las potencia, reduciéndose a una ecuación lineal con solución x=–1. Piden el punto, las dos coordenadas del punto, para encontrar la coordenada y, sustituimos x=–1 en y= 2x+5,

Respuesta: El punto es ( –1,3)



   


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