COMPLETAR CUADRADOS


No hay una definición precisa de que es completar cuadrados, en general se refiera llevar una expresión o ecuación tipo cuadrático a otra equivalente en que la variable quede contenida en una forma del tipo binomio al cuadrado, usando manipulaciones algebraicas para que aparezca el último término del desarrollo del binomio al cuadrado.



Hay muchas maneras de lograr el proceso. Podemos completar, tanteando. Pero muchas veces tenemos expresiones complicadas, así que damos procedimientos que permitan completar el cuadrado paso a paso en expresiones más dificiles de completar de manera intuitiva.

Recuerda que
muchas veces se quiere escribir la expresión
ax2 + bx + c de manera equivalente en la forma     a(x + h)2 + k.
En el proceso se requiere completar el cuadrado.
Es decir, la completación de cuadrado se puede aplicar en expresiones en sí. Las expresiones a completar pueden estar en ecuaciones o en desigualdades, en parte del integrando, etc.




Método intuitivo
Por tanteo, mentalmente, podemos completar el cuadrado en la expresión
    x2+6x
para llevarlo a la forma     (x + h)2 + k
Vemos que ella es parte del desarrollo del binomio
(x + 3)2 , cuyo desarrollo es x2 + 6x + 9. En la expresión que queremos completar cuadrado falta 9. Se suma y se resta 9, no se altera la expresión. Al sumar 9, completamos el binomio al cuadrado
       x2 + 6x + 9 – 9 .
Ahora se sustituye el desarrollo por su expresión al cuadrado.

       (x+3)2 – 9 .




Método amplio
Se basa en sustituir una expresión por otra equivalente y en sumar y restar una misma cantidad, para preservar los valores de la expresión. Decimos que es un método amplio pues es aplicable a expresiones en si, y por tanto, se puede aplicar para completar cuadrados en una parte de la ecuación o desigualdad.

Abajo detallamos los pasos.

Pasos

1) Sacar el coeficiente de x2 de factor común en los términos con x

2) Dentro del paréntesis sumar y restar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x

3) Sustituir los tres primeros términos por su binomio al cuadrado. Si el segundo término es de signo positivo se tiene una suma al cuadrado, si es negativo se tiene una diferencia.

4) Distribuir el coeficiente de x2

5) Simplificar




Al lado mostramos un ejemplo resuelto paso a paso. Varias complicaciones se presentan: cómo sacar factor común si el segundo término no tiene este factor, cómo identificar h si el coeficiente de x es una fracción, entre otras dificultades.

Ejercicios
Exprese cada una de la siguientes en la forma
    a(x + h)2 + k .

a) 2x2 + 4x
      b) 4x2 – 4x + 8       c) 3x2 – 4x – 3

a) 2(x + 1)2 – 2 ,       b) 4(x – 1/2)2 + 7      
c) 3(x – 2/3)2 – 13/3




Método aplicable a ecuaciones y desigualdades
Para llevar una ecuación (o inecuación) con la forma
    ax2 + bx + c = 0 ( < 0 ) a la forma (x + h )2 = k ( < 0 )
El método puede ser extendido a ecuaciones con dos variables. Por ejemplo, para llevar la ecuación de la circunferencia dada en su forma general a su forma ordinaria o estándar.

Bien podríamos llamar este procedimiento como el método del balanceo:

Lo que le hagas a todo un miembro se lo haces a todo el otro miembro, para producir una ecuación o desigualdad equivalente.

Claro, en el caso de una desigualdad, hay que tomar en consideración que si se multiplica o divide por una cantidad negativa, la desigualdad cambia de sentido.

Vamos a describir el método para el caso de ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. En esta aplicación, el objetivo es resolverlas, llevándolas primero a la forma un binomio al cuadrado igual a constante.

Ya sabemos cuál es el término que hace falta para completar el cuadrado en una expresión como
    x2+rx
Los primeros pasos es lograr una expresión como ésta, x2+rx, en el miembro izquierdo de la ecuación o inecuación. Podemos proceder de varias maneras, pasar el término constante al otro lado, quedando los términos con x en el lado izquierdo. Luego dividir todo el lado izquierdo y todo el lado derecho por el coeficiente de x2.
Es fácil ver que en el lado izquierdo queda cada término dividido por el coeficiente principal.
Ya se debe intuir como seguir, se suma en ambos lados de la ecuación el término que falta para completar el cuadrado. Siempre el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.
Finalmente, se sustituye el desarrollo por el binomio al cuadrado en el lado izquierdo y en el derecho se simplifica la expresión numérica.



Ejercicios
Llevar cada una de las siguientes ecuaciones a la forma
    a (x + h)2 = k y de allí resolver la ecuación, indicando el número de raíces reales distintas.


En ambas se tienen dos raíces reales distintas

En c) se tiene una raíz real con multiplicidad dos.
d) no tiene raíces reales. Las raíces son complejas





Método combinado
Completar cuadrados con varias variables

Cuando se tiene dos o más variables en una ecuación o desigualdad y se quiere completar cuadrados en las variables, resulta muy comodo mezclar los métodos descritos arriba, factorizar el coeficiente cuadratico en los términos con la variable en cada variable. Luego sumar la constante apropiada que complete el cuadrado en cada variable, al otro miembro se le suma la cantidad para que la ecuación quede balanceada, para no alterar la igualdad.
Al lado mostramos un ejemplo aplicado, explicado paso a paso. Se requiere llevar una ecuación general de una cónica a su forma canónica, en el proceso se requiere completar cuadrados en las dos variables.
Primeros pasos del ejercicio
1) Pasar la constante al otro lado.
2) Ordenar los términos. Primero los términos con x, luego los términos con y
3) Sacar factor común los coeficientes cuadráticos en cada grupo de términos.
4) Completar cuadrados dentro de cada paréntesis.
Balancear la ecuación.
5) Sustituir los desarrollos por su binomio al cuadrado.
... El ejercicio sigue hasta lograr el objetivo planteado

APLICACIONES
Esta técnica se aplica en geometría analítica, en el estudio de cónicas: parábolas, circunferencias, elipses, hipérbolas. También se usa como parte de un método de resolución de ecuaciones de segundo grado, aplicado este método de manera general permite deducir la fórmula cuadrática o resolvente. Se resuelven desigualdades o inecuaciones cuadráticas asociando con la definición algebraica del valor absoluto. También sirve para encontrar algunas integrales al llevarlas a una forma conocida. Otras aplicaciones, muchas de las cuáles el interés es que surja una forma equivalente en que el problema planteado se sepa resolver.







Ejercicios
Convertir cada una de la siguientes en la forma
    (x + h)2 + k , mentalmente
a) x2 + 4x
      b) x2 – 4x+11
a) (x + 2)2 – 4 ,       b) (x – 2)2 + 7



Fue fácil llevar la expresión
    x2+6x
a la forma pedida, pues el coeficiente de x2 es 1. Listo para asociar con el desarrollo de (x + h)2 . Allí se sumó y resto h2

¿Qué característica tiene h en este caso?
Salvo el signo, h es la mitad del coeficiente de x. En el primer ejemplo h=6/3

¿Qué cantidad se sumó y resto en términos de h ?
En el primer ejemplo se sumó y resto h2, 32=9

¿Cómo proceder si el coeficiente de x2 es distinto de 1?
Se puede extraer factor común este coeficiente en los términos con x para así llevarlo a la situación conocida.
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