FACTORIZACIÓN
POR FACTOR COMÚN Y PRODUCTOS NOTABLES
Comentario.- El tema de esta sección y la siguiente se tratan ejemplos similares a los que
surgen en  las Matemáticas superiores.

Contenido:   
  •  Introducción.
  • Factorización por factor común
  • Factorización por productos notables
  • Factorizar una diferencia de cuadrados
  • Factorizar una suma o diferencia de cubos
  • Factorizar mezclando técnicas
  • Factorizar tanto como se pueda
  • Respuestas   








Temas de polinomios y expresiones algebraicas
Video 1
FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN
En el video se explica de que trata el tema de factorización, se mencionan algunas técnicas y la importancia de la factorización. El método de sacar factor común es desarrollado, mostrando variados ejemplos.

Ejercicios para después del video
1)
¿Cuáles de los siguientes polinomios se le puede aplicar la técnica de factor común para factorizarlo? Saque el mayor factor común en los polinomios en que se pueda.
1.1)  x5 + 10x4 – 15x3;       1.2)   y3 + 4y2y + 2;
1.3)  x8 – 4x3;                   1.4)   ay3 + 2a4y2y + a
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1.1)   x3( x2 + 10x – 15) ;       1.2)   No se puede;
1.3)  x3 (x5 – 4);                   1.4)   No se puede

2) Factorice las siguientes expresiones por factor común
2.1)  16x6 – 4x3 + 12x2;       2.2)   24a6y3 + 4a4y2 – 12a3y
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2.1)   4x2 (4x4x + 3);       2.2)   4a3y ( 6a3y2 + ay – 3)
Video 2
FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN
Se muestran expresiones que son interpretadas como una suma algebraica de términos complicados y en que es posible aplicar la técnica de factor común para lograr la factorización más rápidamente que si se emplea otro procedimiento.

Ejercicios para después del video
3)
Factorice las siguientes expresiones

Respuestas
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Video 3
FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES
Se establecen los principales productos notables cuyos desarrollos se suelen identificar con la expresión a factorizar. Particularmente se trabaja con el trinomio que puede ser identificado con el desarrollo del producto  
(x + a )(x + b )
con   a y b números enteros

Ejercicios para despues del video
4)
  ¿Cuáles de estos polinomios puede ser factorizado identificando con el desarrollo del producto
(x + a )(x + b ) con   a y b números enteros?
Factorice los polinomios en que se pueda identificar con el desarrollo del producto
  (x + a )(x + b )
4.1)  x2 + 2x – 15;       4.2)   y2 – 2y – 15;
4.3)  x2 – 4x + 3;         4.4)   z2 + 2z – 4

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4.1)   (x + 5 )(x – 3 )     4.2)   (y – 5 )(y + 3 )
4.3)   (x – 3)(x – 1);
4.4)   No hay dos números enteros que multiplicados den – 4 y sumados 2.
Video 4
DIFERENCIA DE CUADRADOS
PRODUCTOS NOTABLES.
Se dan ejemplos de cómo efectuar la factorización cuando se tiene o se puede escribir una expresión como una diferencia de cuadrados.

Ejercicios para despues del video
5)
  ¿Cuáles de los siguientes polinomios puede ser escrito como una diferencia de cuadrados? Factorice los polinomios que puedan ser expresados como diferencia de cuadrados.
5.1)  x2 + 16;         5.2)   y3 – 2;
5.3)  4x2 – 9;         5.4)   121 – 16z4

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5.1)   No se puede: es suma de cuadrados.
5.2)   No se puede expresar como una diferencia de cuadrados de polinomios
5.3)   (2x – 3)(2x + 3);
5.4)     ( 11 – 4z2 ) ( 11 + 4z2 )
Video 5
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
PRODUCTOS NOTABLES.
Se trata la factorización de expresiones que son o pueden escribirse como una suma o una diferencia de cubos.

Ejercicios para despues del video
6)
  ¿Cuáles de los siguientes polinomios factorizaría por suma o diferencia de cubos? ¿Por qué? Factorice cada polinomio.

Respuestas
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Lo importante es que al escribirse como una suma o diferencia de cubos, la base en la variable quede con exponente entero. Recuerda, que en general, se busca que los factores sean polinomios a coeficientes reales.
La expresión 4x2 – 27 conviene factorizarla como una diferencia de cuadrados y no de cubos. Si se factoriza como diferencia de cubos quedaría una expresión no polinómica.


Ejercicios variados
7)
  Factorice cada polinomio. Indique cómo se puede obtener la factorización.
7.1)  x2 – 6x + 8;           7.2)   y2 – 5y ;
7.3)  x2 – 9x – 10;         7.4)   16 – 0,01z2
Video 6
FACTORIZAR MEZCLANDO TÉCNICAS
Así como en la descomposición de un número en sus factores primos, en los polinomios también se puede querer factorizarlo como producto de polinomios de grados menores, que ya no se puedan factorizar más.
(Para profundizar el tema puedes ver video ).

Los polinomios de primer grado sin duda no se pueden factorizar más como producto de polinomios de grados menores. Así que podemos estar seguros que si hemos factorizado como producto de polinomios de primer grado hemos logrado el objetivo.

Para factorizar completamente un polinomio muchas veces hay que mezclar técnicas. Se recomienda primero sacar el máximo factor común, luego, si se puede, identificar con productos notables. Los factores resultantes, también habría que considerarlos factorizarlos.

Ejercicios para despues del video
8)
  Indique cuáles polinomios están factorizados completamente. Si alguno no está factorizado completamente, complete la factorización.
8.1)  (x – 4)(x – 2);           8.2)   (y2 – 4)(y – 3)(y – 2) ;
8.3)  (x – 4)(x2 – 9x);         8.4)   (y2 + 2 y + 1)
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8.1)   Ya

8.2)     ( y – 2 )2( y + 2 ) ( y – 3 )    

8.3)   x (x – 4)(x – 9);

8.4)     ( y + 1 )2


9) Factorice completamente
9.1)  2x3 – 4x2 + 2x;                       9.2)   y4 – 4y2 ;
9.3)   x3(x – 4) – 2 x2(x – 4)2;           9.4)   y4 – 13 y2 + 36
Video 7
FACTORIZANDO TANTO COMO SE PUEDA
En ocasiones una expresión, que no es un polinomio, conviene expresarla de manera factorizada. En el video veremos un ejemplo en que se pide expresarla como un producto.

Ejercicios para despues del video
10)
  Factorice tanto como pueda

Respuestas
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FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO
Es una técnica de factorización que usa la factorización por factor común. En el enlace podrás ver en que consiste la técnica con ejemplos desarrollados paso a paso, ejercicios y sus respuestas
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7.1)   (x – 4 )(x – 2 )     Desarrollo del producto de binomios con un término en común

7.2)     y ( y – 5 )     Factor común

7.3)   (x – 10)(x + 1);
Desarrollo del producto de binomios con un término en común

7.4)     ( 4 – 0,1z ) ( 4 + 0,1z ) Diferencia de cuadrados
Ejemplo Factorice hasta que no pueda más
   
(2 y 3 – 8y )
Solución Primero se intenta por factor común. En este caso está 2 y como factor común. Al factorizar queda
    (2 y 3 – 8y ) = 2 y ( y 2 – 4 )
Ahora el segundo factor se intenta identificando con el desarrollo de algún producto notable. En este caso se puede por diferencia de cuadrados.
    = 2 y ( y + 2 ) ( y – 2 )
Como cada factor es líneal, polinomio de primer grado, la factorización está completa.




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9.1)   2x (x – 1)2

9.2)     y2 ( y – 2 ) ( y + 2 )    

9.3)   – x2 (x – 4)(x – 8);


9.4)     ( y + 2 ) ( y – 2 ) ( y + 3 ) ( y – 3 )