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Hasta que no simplifiques un factor del numerador que se anula en a con otro idéntico del denominador tendrás una forma indeterminada 0/0....../ /


Podemos ahorrarnos el trabajo de multiplicar por la fracción
conjugada/conjugada y pasar de una vez a multiplicar todo el
numerador y todo el denominador por la conjugada

      DEMOSTRACIONES DE LAS FÓRMULAS DEL TÉRMINO GENERAL Y DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS EN UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

MÁS SOBRE
La fórmula del término general o del término enésimo de una progresión aritmética depende de la diferencia en común y del primer término de la sucesión. Vamos a demostrar la fórmula por inducción.

Fórmula del término general de una progresión aritmética

     
an = a1 + (n – 1)d     para todo n > 1




La sumatoria de los primeros términos de una progresión aritmética

puede ser calculada rápidamente usando la fórmula que depende sólo del primer y último término. Mostramos dos pruebas.
Fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética

      para todo n > 1


Fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética

      para todo n > 1


La fórmula anterior es muy usada en la resolución de problemas de sucesiones aritméticas.

Problema 8 Determine la suma de una progresión aritmética de 12 términos con primer y último término iguales a 4 y 22.




Problema 9 Determine la suma de los impares positivos hasta 99.




Problema 10 Determine la suma de los números pares entre 12 y 214





Para usar la formula dada hay que conocer el primer y último término, así como la cantidad de términos de la sucesión a sumar. Si no se conoce alguno de estos datos se determina primero, con las informaciones dadas en el problema.

Problema 12 Encuentre la suma de una progresión aritmética de 15 términos con diferencia común igual a -4 y primer término igual a 7. .



En ocasiones la cantidad de interés es el número de términos a sumarse

Problema 13 ¿Cuántos términos de la sucesión aritmética 11,13,15,.... deben sumarse para que la suma sea igual a 325?





Podemos caracterizar el término general de una progresión aritmética a partir del último término. El penúltimo término es igual al último menos la diferencia en común.


El antepenúltimo término es igual al penúltimo menos la diferencia en común
Usando la fórmula anterior obtenemos


Este proceso lo continuamos para encontrar la siguiente fórmula general, que se puede establecer formalmente por inducción
Caracterización del término iésimo a partir del último término

     
ai = an – (n – i)d     para todo n > 1





Esta expresión puede ser usada para demostrar la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética.
Demostración de la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética




Podemos caracterizar el término general de una progresión aritmética a partir del último término. Interpretando los términos de la sucesión en sentido inverso, entonces se tendría una sucesión aritmética con primer término an y diferencia en común d. No es fácil entonces intuir la siguiente fórmula.

Caracterización del término iésimo a partir del último término

     
ai = an – (ni)d     para todo n > 1


Una deducción formal se puede hacer usando el principio de inducción, procediendo de manera similar a la de la fórmula del término general. En el video se presenta una prueba distinta, truncando los primeros términos y aplicando la fórmula del término general a la sucesión truncada.

Esta última fórmula se usa en la segunda demostración de la suma de los términos de una progresión aritmética.