DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Expresar el cociente en su forma binómica y
en su forma polar


Contenido
1 División de números complejos. 2 Dividir usando el conjugado. El cociente en su forma binómica 3 Ejemplo 4 División entre imaginarios puros 5 Ejercicios con respuestas 6 División en forma polar 7 Ejemplos 8 Ejercicios con respuestas

La división

Se define la división de dos números complejos a través de la multiplicación por el inverso.

Sean $z_1$ y $ z_2 $, con $z_2\ne0$, $$z_1 \div z_2= z_1 \cdot \frac{1 }{z_2 }$$ Abajo mostramos cómo calcular $(2+i) \div (1+3i)$ con el método del inverso


El procedimiento más usado para dividir números complejos es el que emplea el conjugado del denominador.

La división usando el conjugado.



El cociente lo solemos escribir usando la notación de fracción $$\frac{ z_1 } {z_2 }$$
Con esta forma recordamos la división, realizándola de manera similar a la racionalización del denominador, multiplicando numerador y denominador por la conjugada del denominador, para deshacernos de números complejos en el denominador.


Es frecuente expresar el cociente en su forma binomial,$a+bi$, para eso se separan las fracciones.





   



Ejemplo Expresar el cociente en la forma binómica (estándar). $$\frac{5+2i}{-2+3i}$$
Solución

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Multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador
\begin{array}{cl} \frac{5+2i}{-2+3i} &=& \frac{(5+2i)\cdot (-2-3i) }{ (-2+3)\cdot (-2-3i) } \end{array}

Efectuar las multiplicaciones del numerador y del denominador. Simplificar
En el numerador usamos la propiedad distributiva. En el denominador el producto notable $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ \begin{array}{cl} \frac{5+2i}{ -2+3i} &=& \frac{(5+2i)\cdot (-2-3i) }{ (-2+3)\cdot (-2-3i) } \\ &=& \frac{ -10-15i-4i-6i^2 }{ (-2)^2- (3i)^2 } \\ &=& \frac{ -10-19i-6i^2 }{4- 3^2\cdot i^2 } \\ \end{array} En la última línea se sumaron los términos semejantes en el numerador. En el denominador se aplicó la propiedad de la potencia de un producto: $(xy)^n=x^ny^n$

Aplicar $i^2=-1$
\begin{array}{cl} \frac{5+2i}{-2+3i} &=& \cdots \\ &=& \frac{ -10-19i-6(-1) }{4- 3^2\cdot(-1) } \\ &=& \frac{ -10-19i+6 }{4+9 } \\ &=& \frac{ -4-19i }{13 } \\ \end{array}

Expresarlo en su forma binómica
Para expresar en la forma $a+bi$ descomponemos el resultado como una diferencia de fracciones con igual denominador : $\frac{ -4 }{13 }- \frac{ 19i }{13 }$ y entonces, la parte imaginaria la descomponemos como un producto: $$\frac{ -4 }{13 }- \frac{ 19 }{13 }i$$

Como $\frac{z_1}{z_2 }=cociente$, podemos verificar, efectuando la multiplicación $z_2\cdot cociente$ y comprobando que es igual a $z_1$




Divisor entre un imaginario puro

Cuando efectuamos la división queremos encontrar un número complejo escrito como $a+bi$ tal que $$\frac{z_1}{z_2}=a+bi$$ La conjugada es un método. Podemos escoger otros métodos, de acuerdo a las características de la división. Presentamos una división en que el denominador es un número imaginario. Se resolverá por el método de la conjugada y por otro método propio para la división entre imaginarios puros.


Ejemplo
Resolviendo por el método de la conjugada
 Expresar el cociente en la forma binómica (estándar). $$\frac{1-5i}{2i}$$ Solución

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Multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador
\begin{array}{cl} \frac{1-5i}{2i} &=& \frac{(1-5i)\cdot (-2i) }{ (2i)\cdot (-2i) } \end{array}

Efectuar las multiplicaciones del numerador y del denominador. Simplificar
En el numerador usamos la propiedad distributiva. \begin{array}{cl} \frac{1-5i}{2i} &=& \frac{(1-5i)\cdot (-2i) }{ (2i)\cdot (-2i) }\\ &=& \frac{1(-2i)-5i(-2i) }{ -2\cdot2i^2 }\\ &=& \frac{-2i+10i^2 }{ -4i^2 }\\ \end{array}

Aplicar $i^2=-1$
\begin{array}{cl} \frac{1-5i}{2i} &=& \cdots \\ &=& \frac{-2i+10(-1) }{ -4(-1) }\\ &=& \frac{-10-2i }{4 } \end{array}

Expresarlo en su forma binómica
Para expresar en la forma $a+bi$ descomponemos el resultado como una diferencia de fracciones con igual denominador : $ \frac{-10}{4}-\frac{2i }{4 } $ y entonces, simplificamos y la parte imaginaria la descomponemos como un producto: $$\frac{1-5i}{2i} = -\frac{5}{2}- \frac{ 1 }{2 }i$$




La idea de multiplicar y dividir entre el conjugado del denominador es provocar un número real en el denominador.
En el caso de tener como divisor un imaginario puro podemos multiplicar y dividir por $-i$, obteniendo entonces expresiones más sencillas que las producidas por el conjugado del denominador.


Ejemplo
División multiplicando y dividiendo por $-i$
Expresar el cociente en la forma binómica (estándar). $$\frac{1-5i}{2i}$$ Solución

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Multiplicar numerador y denominador por $-i$
\begin{array}{cl} \frac{1-5i}{2i} &=& \frac{(1-5i)\cdot (-i) }{ (2i)\cdot (-i) } \end{array}

Efectuar las multiplicaciones del numerador y del denominador.
En el numerador usamos la propiedad distributiva. \begin{array}{cl} \frac{1-5i}{2i} &=& \frac{(1-5i)\cdot (-i) }{ (2i)\cdot (-i) }\\ &=& \frac{1(-i)-5i(-i) }{ -2i^2 }\\ &=& \frac{-i+5i^2 }{ -2i^2 }\\ \end{array}

Aplicar $i^2=-1$
\begin{array}{cl} \frac{1-5i}{2i} &=& \cdots \\ &=& \frac{-i+5(-1) }{ -2(-1) }\\ &=& \frac{-5-i }{2 } \end{array}

Expresarlo en su forma binómica
Para expresar en la forma $a+bi$ descomponemos el resultado como una diferencia de fracciones con igual denominador : $ \frac{-5}{2}-\frac{i }{2 } $ y la parte imaginaria la descomponemos como un producto: $$\frac{1-5i}{2i} = -\frac{5}{2}- \frac{ 1 }{2 }i$$




   




Ejercicios Exprese el cociente en su forma binómica.
a) $ \frac{1+3\,i}{2-3\,i} $
b) $ \frac{5+i}{5+3\,i} $
c) $ \frac{3+2\,i}{5\,i} $
d) $ \frac{2\,i+\frac{1}{3}}{-3\,i-\frac{1}{3}} $
e) $ \frac{\sqrt{3}\,i+1}{2-\sqrt{3}\,i}$
a) $ -\frac{7}{13}+ \frac{9}{13} \,i $
b) $ \frac{14}{17}-\frac{5}{17}\,i $
c) $ 0.4-0.6\,i $
d) $ -\frac{55}{82}+ \frac{3}{82}\,i $
e) $ -\frac{1}{7}+\frac{{3}^{\frac{3}{2}}}{7} i $






División en forma polar

Podemos dividir rápidamente dos números complejos dados en su forma polar, $z_1=p_\alpha$ entre $ z_2=q_\beta$, donde $p$ y $q$ son los módulos y $\alpha$ y $\beta$ los argumentos respectivos, donde $q \ne 0$. Usando las identidades del seno y coseno de las diferencias podemos demostrar $$\frac{p_\alpha } {q_\beta }=\left ( \frac {p } {q }\right )_{\alpha -\beta } $$
Esto es, el cociente es un número complejo con

      módulo el cociente de los módulos y
      argumento la diferencia de los argumentos







   



Ejemplo Exprese el cociente $z_1/z_2$ en su forma polar. $$z_1= 6_{120º} \qquad\qquad z_2= 2_{75º}\ $$
\begin{array}{cl} \frac{ 6_{120º} } {2_{75º} } & = \left ( \frac{6 } {2 }\right )_{ 120º -75º }\\ & = 3_{45º}\\ \end{array} El cociente es un número complejo con módulo igual a 3 y argumento igual a 45º.



Recuerde


De la forma polar podemos pasar a la forma binómica usando la trigonométrica $$z=r_\theta=r(cos(\theta)+sen(\theta)i)$$
Muchas veces, se expresa el argumento, $\theta$, tal que $0º\leq \theta \leq 360º$.


Ejercicios Para cada uno de los siguientes, encuentre el cociente $z_1/z_2$, en su forma polar
a) $ z_1=40_{30º} \; \text{ y } \; z_2=20_{10º} $
b) $ z_1=1_{60º} \; \text{ y } \; z_2=\sqrt{3}_{45º} $
c) $ z_1=\left (\frac{1}{3} \right)_{30} \; \text{ y } \; z_2=3_{-45º} $
d) $ z_1=2_{-50º} \; \text{ y } \; z_2=4_{60º} $
\begin{array}{lll} & a)\ 2_{20º} \qquad & b) & \left ( \frac{ \sqrt{3} } {3} \right) _{ 15º } \qquad \\ & c) \ \left ( \frac{1}{9} \right) _{ 75º } & d) & \left ( \frac{1}{2} \right) _{ 250º } \\ \end{array}




División usando el método del inverso



Ejemplo Calcular $(2+i) \div (1+3i)$ por el método del inverso
Solución
Recuerde la fórmula del inverso de $a+bi$ $$\frac{1 }{a+bi }=\frac{a }{ a^2+b^2}- \frac{b }{ a^2+b^2}i$$ En nuestro caso necesitamos el inverso de $1+3i$, está dado por \begin{array} {ll} \frac{1 }{1+3i }&=\frac{1 }{ 1^2+3^2}- \frac{3 }{ 1^2+3^2}i\\ &= \frac{1 }{ 10}- \frac{3 }{ 10}i \end{array}

El procedimiento para conseguir el cociente se basa en multiplicar el dividendo por el inverso del divisor \begin{array}{ll} (2+i) \div (1+3i)\\ \quad =(2+i) \cdot \frac{1 }{ 1+3i }\\ \quad =(2+i)\cdot ( \frac{1 }{ 10}- \frac{3 }{ 10}i) \\ \quad = \frac{2 }{ 10}-\frac{6 }{ 10}i+\frac{1 }{ 10}i-\frac{ 3}{ 10}i^2\\ \quad =\frac{2 }{ 10}-\frac{6 }{ 10}i+\frac{1 }{ 10}i-\frac{ 3}{ 10}(-1)\\ \quad =\frac{2 }{ 10}-\frac{5 }{ 10}i+\frac{1 }{ 10}i+\frac{ 3}{ 10}\\ \quad =\frac{5 }{ 10}-\frac{7 }{ 10}i \end{array} donde se usó el hecho que $i^2=-1$ y en la última línea se simplificó al sumar las partes reales y sumar los términos imaginarios puros, como si fueran términos semejantes.