RECÍPROCO DE
UN NÚMERO COMPLEJO

El sistema de los números complejos tiene la propiedad de la existencia del inverso multiplicativo o recíproco para todo número distinto de cero. La propiedad del inverso multiplicativo se refiere a que para cada número $z$, distinto de cero, existe un número, llamado el el inverso, denotado por $z^{-1}$, que cumple $$z\cdot z^{-1}=1$$

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Se puede demostrar que el inverso multiplicativo de $z=a+bi$, con $ a\cdot b \ne 0 $ , es $$z^{-1}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$$
   

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Para recordar más fácilmente el recíproco lo denotaremos por $$\frac{1}{a+bi}$$ y obtendremos la forma dada multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.

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Ejemplo Encuentre el recíproco de $3-4i$ usando el conjugado. Exprese el recíproco en la forma binómica (representación estándar).
Solución
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Escribir el inverso como $\frac{1 }{a+bi }$ y multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador.

$$\frac{1} { 3-4i}= \frac{ 3+4i } {( 3-4i) (3+4i) }$$

Aplicar el producto notable de una suma por su diferencia en el denominador, $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ . Luego la potencia de un producto

\begin{array}{cl} \frac{1} { 3-4i} &= & \frac{ 3+4i } {( 3-4i) (3+4i) }\\ &= & \frac{ 3+4i } {3^2-(4i)^2 }\\ &= & \frac{ 3+4i } {9-4^2i^2 }\\ \end{array}

Usar que $i^2=-1$

\begin{array}{cl} \frac{1} { 3-4i} &= & \cdots \\ &= & \frac{ 3+4i } {9-4^2(-1) }\\ &= & \frac{ 3+4i } {9+16 }\\ &= & \frac{ 3+4i } { 25 }\\ \end{array}

Expresarlo en la forma binómica.

El número $ \frac{ 3+4i } { 25 }$ hay que llevarlo a la forma $a+bi$. Para eso, descomponemos la fracción como una suma de fracciones con igual denominador $ \frac{ 3+4i } { 25 } = \frac{ 3 } { 25 } + \frac{ 4i } { 25 } $.
Finalmente, descomponemos $ \frac{ 4i } { 25 } $ como un producto. Obteniendo el recíproco en la forma binomial $$ \frac{ 3 } { 25 } + \frac{ 4 } { 25 } i $$

Puede o no verificar, comprobando que $$ (3-4i)\cdot ( \frac{ 3 } { 25 } + \frac{ 4 } { 25 } i)=1$$

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Ejemplo Encuentre el inverso o recíproco de $\frac{1 }{3 }+2 i $. Exprese el recíproco en la forma estándar (binómica).
Solución
Escribir el inverso como $\frac{1 }{a+bi }$ y multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador.

$$\frac{1} { \frac{1 }{3 }+2 i}= \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {( \frac{1 }{3 }+2 i) (\frac{1 }{3 }-2 i) }$$

Aplicar el producto notable de una suma por su diferencia en el denominador, $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ . Luego, la potencia de un producto y de un cociente.

\begin{array}{cl} \frac{1} { \frac{1 }{3 }+2i } &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {( \frac{1 }{3 }+2 i) (\frac{1 }{3 }-2 i) } \\ &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {( \frac{1 }{3 })^2-(2 i)^2 } \\ &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {( \frac{1 }{3 })^2-2^2 ( i)^2 } \\ &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {\frac{1 }{9 }-4 i^2 } \\ \end{array}

Usar que $i^2=-1$

\begin{array}{cl} \frac{1} { \frac{1 }{3 }+2 i } &= & \cdots \\ &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {\frac{1 }{9 }-4 (-1) } \\ &= & \frac{ \frac{1 }{3 }-2 i } {\frac{1 }{9 }+4 } \\ \end{array} Tenemos una fracción compuesta, en el sentido que tenemos fracciones en el numerador y en el denominador. Para deshacernos de los denominadores de cada parte de la fracción multiplicamos todo el numerador y todo el denominador por el mcm de los denominadores, en nuestro caso por 9, distribuimos y simplificamos en cada parte de la fracción. \begin{array}{cl} &= & \frac{ 9( \frac{1 }{3 }-2 i) } {9( \frac{1 }{9 }+4 ) } \\ &= & \frac{ 9 \frac{1 }{3 }-18 i } {9 \frac{1 }{9 }+36 } \\ &= & \frac{ 3-18 i } {1+36 } \\ &= & \frac{ 3-18 i } {37 } \\ \end{array}

Expresarlo en la forma binómica.

El número $ \frac{ 3-18 i } {37 } $ hay que llevarlo a la forma $a+bi$. Para eso, descomponemos la fracción como una diferencia de fracciones con igual denominador $ \frac{ 3-18 i } {37 } = \frac{ 3 } { 37 } - \frac{ 18i } {37 } $.
Finalmente, descomponemos $ \frac{ 18i } { 37 } $ como un producto. Obteniendo el recíproco en la forma binomial $$ \frac{ 3 } { 37 } - \frac{ 18 } {37 } i $$

Puedes o no verificar, comprobando que $$( \frac{1 }{3 }+2 i ) \cdot ( \frac{ 3 } { 37 } - \frac{ 18 } {37 } i )=1$$

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Con la conjugada se busca una expresión equivalente con el denominador un número real.

Si el número es imaginario puro, $bi$, su conjugada es $-bi$

Ejercicio Encuentre el inverso de $2 i $.
Solución

$$-\frac{1 }{2 }i$$