OPERACIONES COMBINADAS CON
NÚMEROS COMPLEJOS


Contenido
1 Sumas y restas de productos y potencias 2 Cocientes con operaciones combinadas en el numerador y denominador 3 Suma de cocientes 4 Operaciones combinadas con conjugados 5 Módulo de operaciones combinadas

La suma y resta de productos y potencias

En el caso de tener una suma y resta con términos en que aparecen operaciones combinadas, se puede efectuar simultáneamente las operaciones indicadas en los términos.

Ejemplo Efectuar

$(4+5i)^2+(3-i)(2+i)-2(2+i)(-2+i) $

   
Solución

La expresión es una suma y resta, donde los términos son productos y potencias.

$ {\small{ \underbrace{(4+5i)^2}+\underbrace{(3-i)(2+i)}-\underbrace{2(2+i)(-2+i)}}} $



Efectuaremos las operaciones indicadas en cada término simultáneamente. Subrayamos los términos para seguir las cuentas más fácilmente. En el último término aplicamos la propiedad asociativa, asociando los dos últimos factores y desarrollando el producto de una suma por su diferencia.

$ \; {\small{= \underbrace{16+40i+25i^2} }}$ $\;{\small{ +\underbrace{6+3i-2i-i^2}-\underbrace{2(i^2-4)} }} $

Se aplica $i^2=-1$      

$ \; {\small{ = \underbrace{16+40i+25(-1)}}} $ $\; {\small{+\underbrace{6+3i-2i-(-1)}-\underbrace{2((-1)-4)} }} $

Se simplifica      

$ \; {\small{= \underbrace{16+40i-25}+\underbrace{6+i+1}-\underbrace{(-10)}}}$

Se reducen los términos reales y los imaginarios.      

$ {\small{ = 8+41i}}$






   


Cocientes con operaciones en el numerador y en el denominador


Se hacen las operaciones del numerador y del denominador simultáneamente. Cuando ya están escritos en su forma binómica (estándar) se procede hacer la división. Recuerde una manera de hacer la división entre números complejos: multiplicar numerador y el denominador por el conjugado del denominador, para luego simplificar y llevarlo a la forma binómica.

Ejemplo Calcular $$ \frac{(3+2i)(3-i)}{(2-3i)-(3+i)} $$    
Solución Se tiene un cociente. Hacemos las operaciones del numerador y del denominador a la vez

En el numerador se tiene un producto, en el denominador una diferencia.

$\cfrac{(3+2i)(3-i)}{(2-3i)-(3+i)} \\ \\ =\cfrac{9-3i+6i-2i^2}{2-3i-3-i} \\ \\ =\cfrac{9+3i-2(-1)}{-1-4i} \\ \\ =\cfrac{9+3i+2}{-1-4i} \\ \\ =\cfrac{11+3i}{-1-4i}$

Se efectúa la división, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador.

$ =\cfrac{(11+3i)(-1+4i)}{(-1-4i)(-1+4i)} \\ \\ =\cfrac{-11+44i-3i+12i^2}{(-1)^2-(4i)^2} \\ \\ =\cfrac{-11+41i+12(-1)}{1-16(-1)} \\ \\ =\cfrac{-23+41i}{17} \\ \\ =\cfrac{-23}{17}+\cfrac{41}{17}i $





   


Suma de cocientes


Hay distintos procedimientos, en el ejemplo efectuamos las divisiones primero, reduciendo las expresiones a la forma binómica para finalmente sumar los complejos resultantes.

Ejercicio resuelto Efectúe la suma indicada $$ \frac{3}{4+3i}+\frac{4-3i}{i} $$
Solución $ \\ \cfrac{3}{4+3i}+\cfrac{4-3i}{i} \\ = \cfrac{3\left ( 4-3i \right )}{(4+3i)\left ( 4-3i \right ) }+\cfrac{(4-i)(-i)}{i\cdot(-i)} \\ =\cfrac{12-9i }{ 16-9i^2 }+\cfrac{-4i+i^2}{-i^2} \\ = \cfrac{12-9i }{ 16+9 }+\cfrac{-4i-1}{1} \\ = \cfrac{12}{ 25 }-\cfrac{9 }{ 25 }i+(-1-4i) \\ =- \cfrac{13}{ 25 }-\cfrac{109 }{ 25 }i $





   


Operaciones combinadas con números conjugados

Adicionalmente, podemos interpretar el tomar conjugado como una operación. Para efectuar esta operación podemos proceder de manera análoga a los paréntesis, efectuar las operaciones indicadas debajo del signo de conjugado hasta llevarlo a la forma binómica para determinar el conjugado.

Ejemplo Efectuar expresando el resultado en la forma binómica $$\overline{(3+2i)(2-i)-i^7}$$
Abajo de la raya del conjugado se tiene una diferencia donde el primer término es un producto y el segundo una potencia de $i$. Se desarrollan estas expresiones. Recuerde que $i^n$ es $i^{resto}$, donde el resto es el de la división entre $4$.

$ \overline{(3+2i)(2-i)-i^7} \\ \\ =\overline{(6-3i+4i-2i^2)-i^3} \\ \\ =\overline{(6+i-2(-1))+i} \\ \\ =\overline{8+2i} \\ \\ =8-2i $




Otra alternativa cuando se tiene que tomar conjugados es ver si es posible aplicar propiedades del conjugado que permitan hacer las cuentas más rápidas y limpias. En el siguiente ejemplo se explica cada paso.


Ejemplo Evalúa $ \overline{z_1\cdot \overline{z_2}-\overline{z_3}\quad}$, donde $z_1=1-2i,\quad z_2=2-i$ y $z_3=3+4i$. Escribe el resultado en forma binómica.
Antes de evaluar, preferimos aplicar propiedades del conjugado.

$ \overline{z_1\cdot \overline{z_2}-\overline{z_3}\quad} $

Conjugado de una suma      

$ =\overline{z_1\cdot \overline{z_2}} -\overline{ \overline{z_3}} $

Conjugado de un producto y de un conjugado      

$ =\overline{z_1} \cdot \overline{\overline{z_2}} -z_3 $

Conjugado de un un conjugado      

$ =\overline{z_1} \cdot {z_2} -z_3 $

Ahora evaluamos,

$ =\overline{1-2i} \cdot (2-i) -(3+4i) $

Conjugado      

$ = \left ( 1+2i \right ) \cdot (2-i) -(3+4i) $

Primero la multiplicación      

$ = \left ( 2-i+4i-2i^2 \right ) -(3+4i) $

$i^2=-1$      


$ = \left ( 2+3i-2(-1) \right ) -(3+4i) $

$ = \left ( 2+3i+1 \right ) -3-4i $

$=-i$




   



Módulo de operaciones combinadas

En el módulo de una expresión con números complejos, podemos primero efectuar todas las operaciones dentro de las barras, llevándolo a la forma binómica, $a+bi$ , para luego determinar el módulo. Pero también podemos aplicar las propiedades del módulo. En el siguiente ejemplo tomaremos en cuenta la propiedad del módulo del producto y de un cociente (es el producto y el cociente de los módulos). Aplicar otras propiedades también ayudan a disminuir la cantidad de pasos a desarrollar.   Leer más sobre propiedades.

Ejemplo Calcular $$ \left | \frac{(2+i)-i\left (2-3i \right )}{4+3i} \right | $$
Podemos aplicar la propiedad del cociente de los módulos (en vez de determinar el número complejo dentro de las barras)
$\left | \cfrac{(2+i)-i\left (2-3i \right )}{4+3i} \right | \\ \\ =\cfrac{ | (2+i)-i\left (2-3i \right ) | }{| 4+3i |} \\ \\ =\cfrac{ | 2+i-2i +3i^2| }{\sqrt{16+9}} \\ \\ =\cfrac{ | -1 -i | }{5} \\ \\ =\cfrac{ \sqrt{ 2} }{5} $




   



Ejercicios Realiza las siguientes operaciones.
Escribe los resultados complejos en su forma binómica.
a) $ 2(3+i)-(2-4i)\cdot (2-4i) $

b) $ (1+2i)^2+(-3+4i )i -(2-2i)(1-2i) $

c) $ (-1+\frac{1}{2}i) (1+\frac{1}{2}i) + (\frac{1}{2}+2i)- (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i )i $

d) $ \cfrac{\left( 3-4\,i\right) \,\left(2+i \right ) }{\left( 2-3\,i\right) \,i^3-2\,i} $

e) $ \left| \cfrac{\left( 1-i\right) \,\left(2+ i \right) }{(2-3\,i)-2\,\left( 1-2\,i\right) }\right| $

Haz clic para ver las respuestas

a) $ 18+18i \qquad $
b) $ -5+7i$
c) $ - \frac{5 } {4 } +\frac{5 } { 3}i $
d) $ -\frac{2}{5} + \frac{11}{5}i $
e) $ \sqrt{10 }$



Ejercicios Evalúa y simplifica las siguientes expresiones para $z_1=1+2i, \ z_2=3-i$ y $z_3=2i$
Expresa los resultados complejos en su forma binómica.

\begin{array}{ll} a) \ z_1z_2-z_3 & b)\ \overline{z_1\cdot \overline{z_2}-\overline{z_1} z_2} \\ \\ c) \ \left| z_1^2(z_2-z_3) \right| \quad &d)\ \cfrac { \left| z_3(z_2-z_3) \right| } { \left| z_3 \right| } \\ \\ e)\ \left| \cfrac { z_3+z_2 } { \overline{z_1 z_2} }\right| \end{array}
\begin{array}{lll} & a)\ 5+3i \qquad & b) \ -14i & c) \ 15 \sqrt{2} \\ & d)\ 3\sqrt{2} & e)\ \sqrt{5 }/5 \end{array}