MULTIPLICACIÓN DE
NÚMEROS COMPLEJOS


Multiplicar número complejos en forma binómica

Formalmente presentamos la definición de la multiplicación de dos números complejos.

$(a+bi)\cdot (c+di) $ $= (ac-bd)+(ad+bc)i$



Ejemplo Usar la fórmula para calcular el producto: $(2+3i)\cdot (4+5i)$.
Solución Primero se identifica las letras, $a=2, b=3, c=4$ y $d=5$
Aplicamos la fórmula y realizamos las cuentas.



Segundo procedimiento: Distribuyendo.
Debido a que las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva son válidas para números complejos, podemos multiplicarlos en su forma o representación binómica de manera similar a la multiplicación de polinomios. En el botón justificamos paso a paso el procedimiento propuesto para multiplicar números complejos.
Primero aplicamos la propiedad distributiva, interpretamos $(c+di)$ como un solo número
$(a+bi)(c+di)$ $\;=a(c+di)+bi(c+di)$
    $=ac+adi+bic+bidi$         Propiedad distributiva en cada término
    $=ac+adi+bci+bdi^2$    
    $=ac+adi+bci+bd(-1)$         $i^2=-1$
    $=ac+bd(-1)+adi+bci$     Propiedad conmutativa de la suma
    $=(ac-bd)+(adi+bci)$        Propiedad asociativa
    $=(ac-bd)+(ad+bc)i$        Propiedad distributiva


Podemos abreviar, aplicando el siguiente diagrama que nos permite recordar el desarrollo de aplicar dos veces la propiedad distributiva.


Luego, se aplica $i^2=-1$. Finalmente, se suman las partes reales entre si y las partes imaginarias entre si, como sumabamos términos semejantes.



Ejemplo Calcular $(2+i) \cdot (2-3i)$ . Expresar el producto en su forma binómica (estándar).
Solución


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Aplicar la propiedad distributiva dos veces, abreviar con el diagrama
$$ (2+i) \cdot (2-3i) = 4-6i+2i-3i^2$$

Aplicar $i^2=-1$
\begin{array}{cl} &=& 4-6i+2i-3(-1)\\ &=& 4-6i+2i+3\\ \end{array}

Simplificar, llevándolo a la forma binómica
Se suman las partes reales y las partes imaginarias \begin{array}{cl} &=& 7-4i \\ \end{array}




El cuadrado del binomio $(a+bi)^2$ puede ser obtenido en su forma estándar o binómica aplicando la propiedad distributiva en $(a+bi)(a+bi)$. Pero también puede ser resuelto usando el producto notable $$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$ Veamos el siguiente ejemplo

Ejemplo Calcular $(4-3i) ^2$ . Expresar el producto en su forma binómica (estándar).
Solución


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Aplicar el producto notable
\begin{array}{cl} (4-3i) ^2 &=& 4^2-2\cdot 4\cdot (3i)+(3i)^2\\ &=& 16-24i+9i^2\\ \end{array}

Aplicar $i^2=-1$
\begin{array}{cl} =16-24i+9(-1)\\ \end{array}

Simplificar, llevándolo a la forma binómica
Se suman las partes reales y las partes imaginarias \begin{array}{cl} =7-24i\\ \end{array}





Una multiplicación especial es la de números complejos conjugados $(a+bi)$ y $(a-bi)$. Su resultado es siempre el número real, $a^2+b^2$.
$$(a+bi)\cdot (a-bi)=a^2+b^2$$



$(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2$ Producto de una suma por su diferencia
    $=a^2-b^2i^2$           Prop. de potencia de un producto
    $= a^2-b^2(-1) $     $i^2=-1$
    $=a^2+b^2$       


Este producto de un número complejo, $z$, por su conjugado es el cuadrado del módulo de $z$.

Se puede memorizar este resultado, o sencillamente aplicar la fórmula para el producto de una suma por su diferencia,$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, como en el ejemplo de abajo.


Ejemplo
Multiplique $2-4i$ por su conjugado complejo aplicando el producto de una suma por su diferencia.

Solución El conjugado complejo de $2-4i$ es $2+4i$. Así que debemos encontrar $(2-4i)( 2+4i ) $.
$(2-4i)(2+4i)=2^2-(4i)^2$   Producto de una suma por su diferencia
    $=2^2-4^2i^2$             Prop. de potencia de un producto
    $= 2^2-4^2(-1) $     $i^2=-1$
    $=4+16=20$       




Ejercicios Efectúe las siguientes multiplicaciones. Exprese el resultado en forma binomial.
a) $\ (1+3\,i) \cdot (2-3\,i) $
b) $\ (5+i) \cdot (5+3\,i) $
c) $\ (3+2\,i) \cdot (5\,i) $
d) $ \ (2\,i+\frac{1}{3}) \cdot (-3\,i-\frac{1}{3}) $
e) $\ (\sqrt{3}\,i+1) \cdot (2-\sqrt{3}\,i) $
a) $\ 11+3 \,i $
b) $\ 22+20\,i $
c) $\ -10+15\,i $
d) $ \ \frac{53}{9}- \frac{5}{3}\,i $
e) $ \ 5+\sqrt{ 3 } i $



Multiplicación en forma polar

La multiplicación de dos números complejos dados en su forma polar resulta más sencilla.
Sean dos números complejos $z_1=p_\alpha$ y $ z_2=q_\beta$, donde $p$ y $q$ son los módulos y $\alpha$ y $\beta$ los argumentos respectivos. Usando las identidades del seno y coseno de sumas podemos demostrar $$ {p_\alpha }\cdot {q_\beta }=\left ( p\cdot q \right )_{\alpha +\beta } $$
Esto es, el producto de dos números complejos es un número complejo tal que

      su módulo es el producto de los módulos y
      su argumento es la suma de los argumentos





Ejemplo Encuentre el producto $z_1\cdot z_2$ . Exprese el resultado en forma polar. $$z_1= 4_{60º} \qquad\qquad z_2= 5_{75º}\ $$
\begin{array}{cl} 4_{60º} \cdot 5_{75º} & = \left ( 4 \cdot 5 \right )_{ 60º +75º }\\ & = 20_{135º}\\ \end{array} El producto es un número complejo con módulo igual a 20 y argumento igual a 135º.





Se estila anotar el argumento $ \theta$ entre $ 0$ y $360º$ , $(0,2\pi)$




Recuerde que podemos pasar de la forma polar a la binómica usando la expansión trigónometrica: $$z=r_\theta=r(cos(\theta)+sen(\theta)i)$$



Ejercicios Encuentre el producto, $z_1 \cdot z_2$, en su forma polar
a) $ z_1=40_{30º} \; \text{ y } \; z_2=20_{10º} $
b) $ z_1=1_{60º} \; \text{ y } \; z_2=\sqrt{3}_{45º} $
c) $ z_1=\left (\frac{1}{3} \right)_{30} \; \text{ y } \; z_2=3_{-45º} $
d) $ z_1=2_{-50º} \; \text{ y } \; z_2=4_{60º} $
a) $ 800_{40º} $
b) $ \left ( \sqrt{3} \right) _{ 105º } $
c) $ 1 _{ 345º } $
d) $ 8_{ 10º } $