Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una
ecuación usando derivación implícita

En la derivación implícita, la derivada suele venir expresada en términos de x y y. Para encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto (x0, y0) por el método de derivación implícita, hay que evaluar la derivada en dicho punto. Esto es


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HALLAR LAS PENDIENTES DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA CUANDO $x=1$
USANDO DERIVACIÓN EXPLÍCITA Y USANDO DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Queremos encontrar la pendiente de la recta tangente cuando $x=1$. La gráfica no define una función, pero podemos solucionar el problema al despejar $y$ y definir dos funciones explícitas cuyas gráficas abarcan toda la circunferencia. Entonces, podemos derivar de manera normal para luego conseguir las pendientes evaluando la derivada en $x=1.$ Pero también, podemos diferenciar implícitamente, consiguiendo una sola expresión para las derivadas de las funciones definidas que depende de $x$ y $y$. Por este procedimiento debemos determinar las coordenadas $y,$ sustituyendo $x.$




ENCONTRAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A LA GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN EN UN PUNTO DADO DETERMINANDO LA PENDIENTE USANDO DERIVACIÓN IMPLÍCITA

De nuevo se discute el problema de una ecuación que no define una función, mostrando un ejemplo en que el despeje de $y$ es complicado. Se justifica entonces por qué se puede derivar implícitamente para conseguir la pendiente de la recta tangente. El ejemplo encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva de Descartes $x^3+y^3=6xy$ en el punto (3,3).



El siguiente ejemplo es resuelto paso a paso.

Ejemplo Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva
en el punto (3,1).
Solución
Paso 1 Verifique que tiene las dos coordenadas del punto.
En caso que falte alguna coordenada sustituya la conocida en la ecuación y resuelva la ecuación resultante.



Paso 2 Derive implícitamente para encontrar la derivada.



Paso 3 Evalúe la derivada en el punto (x0,y0)



Paso 4 Use la ecuación punto pendiente para establecer la recta, sustituyendo las pendiente y el punto






Ejercicios
1)
Hallar la ecuación de la tangente a la curva en el punto dado
   






LA RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO DADO

Es la recta perpendicular a la recta tangente a la curva en dicho punto.
De la relación entre pendientes de rectas perpendiculares, si $m_{tag}=y'(x_0,y_0)$ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $(x_0,y_0)$ entonces
$$m_{normal}=-\frac{1}{y'(x_0,y_0)}$$            
es la pendiente de la recta normal a la curva en dicho punto.



Pasos para encontrar la ecuación de
la recta normal a la gráfica de una ecuación
en el punto $(x_0,y_0)$


1 Verifique que tiene las dos coordenadas del punto.
En caso que falte alguna coordenada sustituya la conocida en la ecuación y resuelva la ecuación resultante.

2 Derive implícitamente para encontrar la derivada.

3 Evalúe la derivada en el punto $(x_0,y_0)$. Establezca la pendiente de la recta normal

$$m_{normal}=-\frac{1}{y'(x_0,y_0)}$$



4 Use la ecuación punto pendiente para establecer la recta, sustituyendo la pendiente y el punto

$$y- y_0= m_{normal}(x-x_0)$$




Ejercicio
2) Encontrar la ecuación de la recta normal a la gráfica de la ecuación $x^3+y^3=6xy$ en el punto (3,3).
Respuesta
$y=x$