COMPLETAR CUADRADOS

Cuando se habla de completar cuadrados, en general, se refiere a llevar una expresión o ecuación tipo cuadrático a otra equivalente en que la variable quede contenida en una forma del tipo binomio al cuadrado, en el proceso se usa la identidad
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ sustituyendo la expresión de la derecha por la de la izquierda. Muchas veces no se tiene la expresión completa del miembro derecho, entonces se completa, de allí el nombre de la técnica, buscando siempre una expresión o ecuación equivalente.


Hay muchas maneras de lograr el proceso. Podemos completar, tanteando. Pero muchas veces tenemos expresiones complicadas, así que damos procedimientos que permitan completar el cuadrado paso a paso en expresiones más dificiles de completar de manera intuitiva.

Recuerda que muchas veces se quiere escribir la expresión
$ax^2+bx+c$ de manera equivalente en la forma     $a(x+h)^2+k.$
En el proceso se requiere completar el cuadrado.
Es decir, la completación de cuadrado se puede aplicar en expresiones en sí. Las expresiones a completar pueden estar en ecuaciones o en desigualdades, en parte del integrando, etc.

APLICACIONES
Esta técnica se aplica en geometría analítica, en el estudio de cónicas: parábolas, circunferencias, elipses, hipérbolas. También se usa como parte de un método de resolución de ecuaciones de segundo grado, aplicado este método de manera general permite deducir la fórmula cuadrática o resolvente. Se resuelven desigualdades o inecuaciones cuadráticas asociando con la definición algebraica del valor absoluto. También sirve para encontrar algunas integrales al llevarlas a una forma conocida. En muchas aplicaciones el interés de aplicar la técnica es que surja una forma equivalente en que el problema se sepa resolver.




Método intuitivo


Ejemplo Por tanteo, mentalmente, completar el cuadrado en la expresión ${\color{blue} {x^2+6x}}$ para llevarlo a la forma   ${\color{blue} {(x+h)^2+k}}$
Solución Vemos que ${\color{blue} {x^2+6x}}$ es parte del desarrollo del binomio ${{(x+3)^2}}$, cuyo desarrollo es ${ {x^2+6x+9.}}$ En la expresión que queremos completar cuadrado falta 9. Se suma y se resta 9, no se altera la expresión. Al sumar 9, completamos el binomio al cuadrado
$${\color{blue} {x^2+6x = x^2 + 6x + 9 – 9 }}$$ Ahora se sustituye el desarrollo por su expresión al cuadrado.
$${\color{blue} {(x+3)^2-9}}$$


Análisis del ejemplo ${\color{blue} {x^2+6x}}$
Fue fácil llevar la expresión ${ {x^2+6x}}$ a la forma pedida, pues el coeficiente de $x^2$ es 1. Listo para asociar con el desarrollo de $(x+h)^2$.

¿Qué característica tiene $h$ en este caso?
Salvo el signo, $h$ es la mitad del coeficiente de $x$. En este ejemplo $h=6/2=3.$


¿Qué cantidad se sumó y resto en términos de $h$?
Se sumó y resto $h^2$, $3^2=9$


¿Cómo saber si se completa al cuadrado de una suma o al de una diferencia?
Por el signo del coeficiente de $4x$. En este caso el coeficiente es +6, de signo positivo, corresponde al desarrollo de una suma.


Ejercicio Completa el cuadrado para llevar $x^2 -12x$ a la forma $\left (x+h \right )^2+k$

Pasa el puntero sobre la imagen para ver la solución completa.





Observación Observa que si el coeficiente de $x$ es positivo, el trinomio corresponde el desarrollo del cuadrado de una suma. Si en cambio el coeficiente de $x$ es negativo el desarrollo corresponde al cuadrado de una diferencia.



Ejercicio resuelto Completa cuadrados para llevar $x^2+18x+92$ a la forma $\left (x+h \right )^2+k$

Pasa el puntero sobre la imagen para ver la solución completa.






Ejercicios
Convertir cada una de la siguientes en la forma
    $(x + h)^2 + k$.
a) $x^2 + 4x; \quad$       b) $ x^2 – 4x+11 $
a) $ (x + 2)^2 – 4 $;       b) $ (x – 2)^2 + 7 $


¿Cómo proceder si el coeficiente de $x^2$ es distinto de 1?
Se puede extraer factor común este coeficiente en los términos con $x$ para así llevarlo a la situación conocida.




Método amplio


Se basa en sustituir una expresión por otra equivalente y en sumar y restar una misma cantidad, para preservar los valores de la expresión. Decimos que es un método amplio pues es aplicable a expresiones en si, y por tanto, se puede aplicar para completar cuadrados en una parte de la ecuación o desigualdad.

Abajo detallamos los pasos con el desarrollo de un ejemplo.



Ejemplo
Exprese $3x^2+5x+1$ en la forma a(x + h)2 + k .
Solución

Cliquea para ver el desarrollo de cada paso.


Sacar el coeficiente de $x^2$ de factor común en los términos con $x$: $ax^2+bx+c=a \left ( x^2+\frac{b}{ a}x \right ) +c$
\begin{array}{cl} 3x^2+5x+1 &=& 3 \left ( x^2+\frac{5}{ 3}x \right ) +1 \end{array}

Dentro del paréntesis sumar y restar el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$, obtendremos una expresión equivalente: $$+\left ( \frac{b}{ 2a} \right )^2 - \left ( \frac{b}{ 2a} \right )^2=0 $$
$ = 3(x^2+ \frac{5 }{3 }x\;+\; \underline{\;\;?\;\: }\;-\;\underline{\;\;?\;\: } \; )\;+1\\ = 3\left ( x^2+ \frac{5 }{3 }x+ \left ( \frac{5}{2\cdot 3} \right )^2 - \left ( \frac{5}{2\cdot 3} \right )^2\right )+1 $
Sustituir los tres primeros términos por su binomio al cuadrado. Si el coeficiente de x es de signo positivo se tiene una suma al cuadrado, si es negativo se tiene una diferencia.
Corresponde a una suma, pues el coeficiente de $x$ es positivo $ {\small { 3x^2+5x+1 = \cdots \\ \quad = 3\left ( \overline{x^2+ \frac{5 }{3 }x+ \left ( \frac{5}{2\cdot 3} \right )^2 } - \left ( \frac{5}{2\cdot 3} \right )^2\right ) +1\\ \quad = 3\left ( \left ( x+\frac{5}{ 6} \right )^2 - \left ( \frac{5}{6} \right )^2 \right ) +1 }}$

Distribuir el coeficiente de $x^2$.
$ 3x^2+5x+1 =\cdots\\ \quad= 3 \left ( x+\frac{5}{ 6} \right )^2 - 3 \left ( \frac{5}{6} \right )^2 +1 \\ $

Simplificar los términos constantes
$ 3x^2+5x+1 =\cdots\\ \quad = 3 \left ( x+\frac{5}{ 6} \right )^2 - 3 \cdot \frac{25}{36} +1 \\ \quad = 3 \left ( x+\frac{5}{ 6} \right )^2 - \frac{25}{12} + \frac{12}{12} \\ \quad= 3 \left ( x+\frac{5}{ 6} \right )^2 - \frac{13}{12} \\ $



En el ejemplo y la animación resueltos paso a paso se presentaron varias complicaciones: cómo sacar factor común si el segundo término no tiene este factor, cómo identificar $h$ si el coeficiente de $x$ es una fracción, entre otras dificultades.

Ejercicios
Exprese cada una de la siguientes en la forma $$a(x + h)^2 + k $$ a) $2x^2 + 4x; \quad$
b) $4x^2 – 4x + 8 ; \quad$
c) $3x^2 – 4x – 3 \quad$

a) $2(x + 1)^2 – 2; \quad$
b) $4(x – 1/2)^2 + 7 ; \quad$
c) $3(x – 2/3)^2 – 13/3 $



Método aplicable a ecuaciones y desigualdades

Para llevar una ecuación (o inecuación) con la forma
$ax^2 + bx + c = 0\; ( \lt 0 )$ a la forma $(x + h )^ 2 = k ( \lt 0 ) $

El método puede ser extendido a ecuaciones con dos variables. Por ejemplo, para llevar la ecuación de la circunferencia dada en su forma general a su forma ordinaria o estándar.

Bien podríamos llamar este procedimiento como el método del balanceo:

Lo que le hagas a todo un miembro,
se lo haces a todo el otro miembro,
para producir una ecuación o desigualdad equivalente.



Claro, en el caso de una desigualdad, hay que tomar en consideración que si se multiplica o divide por una cantidad negativa, la desigualdad cambia de sentido.

Vamos a describir el método para el caso de ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. En esta aplicación, el objetivo es resolverlas, llevándolas primero a la forma un binomio al cuadrado igual a constante.




Ejemplo Encontrar una ecuación equivalente a $2x^2-3x+1=0$ con la forma $(x+b)^2=k$. Resuelva esta última.
Solución

Haz click para ver el desarrollo de los pasos


PRIMERA ETAPA. Completar cuadrados para llevarla a la forma $(x+b)^2=k$
Dejar los términos con $x$ en un lado de la ecuación, los términos constantes en el otro miembro.
\begin{array}{cl} x^2-3x+1&=&0\\ x^2-3x&=& -1 \end{array}

Conseguir una ecuación equivalente en que el coeficiente cuadrático sea igual a 1. Dividir por el coeficiente principal $a$ ambos miembros de la ecuación. Simplificar
\begin{array}{cl} \frac{ 2x^2-3x }{ 2 }&=&\frac{ -1}{ 2 } \\ \\ \frac{ 2x^2 }{ 2 } - \frac{ 3x }{ 2} &=&\frac{ -1}{ 2 } \\ \\ x^2 - \frac{ 3 }{ 2} x &=&\frac{ -1}{ 2 } \end{array}

Sumar a cada miembro el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$
\begin{array}{cl} x^2 - \frac{ 3x }{ 2} +\; \underline{\, \; ?\,\; }\; - \; \underline{\,\; ?\,\; } \; &=&\frac{ -1}{ 2 }\\ & &\\ x^2 - \frac{ 3x }{ 2} + \underline{ \left (\frac{ 3 }{ 2\cdot 2} \right )^2 } -\underline{\left (\frac{ 3 }{ 2\cdot 2} \right )^2 } &=&\frac{ -1}{ 2 } \end{array}

Sustituir el trinomio por el cuadrado del binomio
Corresponde a una resta \begin{array}{cl} \overline{x^2 - \frac{ 3x }{ 2} + \left (\frac{ 3 }{ 2\cdot 2} \right )^2 } -\left (\frac{ 3 }{ 2\cdot 2} \right )^2 &=&\frac{ -1}{ 2 }\\ &=&\\ \left ( x - \frac{ 3 }{ 4} \right )^2 -\left (\frac{ 3 }{ 2\cdot 2} \right )^2 &=&\frac{ -1}{ 2 } \\ \end{array}

Pasar la constante al lado derecho. Simplificar.
$$ \left ( x - \frac{ 3 }{ 4} \right )^2 =\frac{ -1}{ 2 }+ \frac{ 9 }{ 16} \\ \left ( x - \frac{ 3 }{ 4} \right )^2 =\frac{ 1}{ 16 } $$

SEGUNDA ETAPA: Resolver la ecuación $(x+b)^2=k$
Como $k>0$ se tienen dos soluciones reales
Sacar raíz. Hay una raíz positiva y otra negativa
\begin{array}{cl} \left ( x - \frac{ 3 }{ 4} \right ) & =& \pm \sqrt{\frac{ 1}{ 16 }} \\ x - \frac{ 3 }{ 4} & =& \pm \frac{ 1}{ 4 } \\ \end{array}

Despejar








Ya sabemos cuál es el término que hace falta para completar el cuadrado en una expresión como
    ${\color{Blue}{x^2+rx} }$
Los primeros pasos es lograr una expresión como ésta, ${\color{Blue}{x^2+rx} }$ en el miembro izquierdo de la ecuación o inecuación. Podemos proceder de varias maneras, pasar el término constante al otro lado, quedando los términos con ${\color{Blue}{x} }$ en el lado izquierdo. Luego dividir todo el lado izquierdo y todo el lado derecho por el coeficiente de ${\color{Blue}{x^2} }$

Es fácil ver que en el lado izquierdo queda cada término dividido por el coeficiente principal.
Ya se debe intuir como seguir, se suma en ambos lados de la ecuación el término que falta para completar el cuadrado. Siempre el cuadrado de la mitad del coeficiente de ${\color{Blue}{x} }$.

Finalmente, se sustituye el desarrollo por el binomio al cuadrado en el lado izquierdo y en el derecho se simplifica la expresión numérica.




Ejercicios
Llevar cada una de las siguientes ecuaciones a la forma
    $a(x+h)^2=k\; $ y de allí resolver la ecuación, indicando el número de raíces reales distintas.



En ambas se tienen dos raíces reales distintas


En c) se tiene una raíz real con multiplicidad dos.
d) no tiene raíces reales. Las raíces son complejas





Método combinado
Completar cuadrados con varias variables


Cuando se tiene dos o más variables en una ecuación o desigualdad y se quiere completar cuadrados en las variables, resulta muy comodo mezclar los métodos descritos arriba, factorizar el coeficiente cuadratico en los términos con la variable en cada variable. Luego sumar la constante apropiada que complete el cuadrado en cada variable, al otro miembro se le suma la cantidad para que la ecuación quede balanceada, para no alterar la igualdad.
Abajo mostramos un ejemplo aplicado, explicado paso a paso. Se pide llevar una ecuación general de una cónica a su forma canónica, en el proceso se requiere completar cuadrados en las dos variables.



Primeros pasos del ejercicio
1) Pasar la constante al otro lado.
2) Ordenar los términos. Primero los términos con x, luego los términos con y
3) Sacar factor común los coeficientes cuadráticos en cada grupo de términos.
4) Completar cuadrados dentro de cada paréntesis.
Balancear la ecuación.
5) Sustituir los desarrollos por su binomio al cuadrado.
... El ejercicio sigue hasta lograr el objetivo planteado.