ECUACIÓN QUE SE REDUCE A UNA SIN INCÓGNITA



Al resolver algunas ecuaciones nos encontramos que la incógnita desaparece, quedando una ecuación que sólo contiene números. ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación planteada? ¿Cómo proceder? Abajo mostramos el conjunto solución de algunas ecuaciones sin $x.$

Ejemplo
¿Cuáles son los valores de $x$ que hacen cierta la proposición –1 = 0?

Pulsa el botón para ver las respuestas


Respuestas    1.1) {2};    1.2) $ \dfrac{18}{11}$;   1.3) $ -\dfrac{1}{2}$


¿Cuáles son los valores de $x$ que hacen cierta la proposición 4 = 4?

Pulsa el botón para ver las respuestas


Respuesta    Cualquier valor de x hace cierta la igualdad.

El conjunto solución de esta ecuación es el conjunto de todos los números reales, R.

Estudiemos primero este tipo de ecuaciones que las llamaremos Ecuaciones numéricas (pues no contienen la incógnita) Como ves en los ejemplos,

♦ Si la igualdad numérica es falsa el conjunto solución de una ecuación numérica es el vacio.

♦ Si la igualdad numérica es una proposición verdadera entonces el conjunto solución de la ecuación numérica es el conjunto de todos los números reales.


Ideas claves

♦ Una solución es un número que al sustituir por la incógnita hace cierta la igualdad.

♦ Resolver una ecuación es encontrar todas las soluciones.

♦ Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones

♦ Cuando resolvemos una ecuación vamos transformando la ecuación en otras equivalentes, hasta llegar a una ecuación que sepamos resolver o cuya solución es evidente.

♦ Algunas transformaciones que producen ecuaciones equivalentes son
    1) Sumar a ambos miembros un polinomio.
    2) Multiplicar o dividir por un número distinto de 0.
    3) Sustituir una expresión por otra equivalente.



Pasa el puntero sobre el ejemplo para ver detalles





Como verás en el ejemplo, se eliminan las $x$ pues 0$x$ es igual a 0. Llegando a una igualdad numérica que es cierta. En este caso y en cualquier otro ejemplo que se llegue a una igualdad numérica cierta, luego de haber transformado la ecuación en otras equivalentes, concluiremos que el conjunto solución de la ecuación original será el mismo, R.

Ejercicio
Resolver la ecuación $ x( x – 2 ) = ( x – 1 )^2$

Pulsa el botón para ver la solución detallada

Pasa el puntero sobre la imagen para ver detalles




Resumen
Si hemos realizado operaciones que producen ecuaciones equivalentes, llegando a una ecuación sin la incógnita, (la $x$ desaparece) tenemos que

♦ Si la igualdad numérica es cierta, la ecuación inicial tiene como conjunto solución el conjunto de todos los números reales. (Infinitas soluciones).

♦ Si la igualdad numérica es una proposición numérica falsa entonces la ecuación inicial no tiene solución.


Ejercicios
Resolver cada ecuación.
1.1) $ 2(x – 1) – x = x + 1 $
1.2) $ x – 4 = x/2 – 2( 2 – \frac{x}{4} ) $
1.3) $ (x– 2)( 4x + 4 ) = (2 x – 1 )^2 $
Respuestas
1.1) No tiene solución
1.2) Todos los números reales
1.3) No tiene solución
Ver sobre ecuación condicional, idéntidad y contradicción