ECUACIONES
CONCEPTOS BÁSICOS
ECUACIONES EQUIVALENTES
VIDEO 1 INTRODUCCIÓN A ECUACIONES
El video comienza explicando la importancia de las ecuaciones. Se dan conceptos claves para el tema. Ecuación algebraica, raíz o solución de una ecuación, resolver una ecuación, conjunto solución, ecuaciones equivalentes son, entre otras, las definiciones que se establecen en el video. Ilustra como verificar si un número es o no raíz de una ecuación. Muestra distintas situaciones de ecuaciones algebraicas con conjuntos soluciones de diferentes naturaleza, sin ahondar en detalles de resolución.Se desarrollan ejemplos con coeficientes con fracciones, con radicales, producto de monomios en varias variables.
Ejercicios
1) ¿Qué es resolver una ecuación?
2) Verifique si el número propuesto es o no raíz de la ecuación
2.1) $\; 2x^{2}-3x=3x-4; \qquad$ $ x=2$
2.2) $\; 2x^3-3x=x^2-1; \qquad $ $ x=3$
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ECUACIONES EQUIVALENTES.
ALGUNAS OPERACIONES QUE
PUEDEN
AGREGAR Y QUITAR SOLUCIÓN
Dentro de la estrategía general para resolver ecuaciones algebraicas,
está verificar si en el proceso se producen o no
ecuaciones equivalentes. La ley de oro de las ecuaciones o el
principio básico para resolverlas es que lo que se le hace a un miembro se le hace a todo el otro miembro.
Sin embargo, en este proceso se pueden perder soluciones o añadir soluciones
extrañas a la original. ALGUNAS OPERACIONES QUE PRODUCEN ECUACIONES EQUIVALENTES
Sumar o restar un polinomio a ambos lados de la ecuación.Multiplicar o dividir por una constante distinta de 0 ambos lados de la ecuación.
Sustituir una expresión por otra equivalente.
ALGUNAS OPERACIONES QUE PUEDEN AGREGAR SOLUCIONES EXTRAÑAS A LA ECUACIÓN ORIGINAL
Multiplicar por un polinomio ambos lados de la ecuaciónElevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.
Ejemplo $x=5$ tiene una unica solución, 5.
Si multiplicamos ambos lados por $x$, queda $x^2=5x$, con dos soluciones: 0 y 5. Verifica.
Si en la ecuación $x=5$ elevamos ambos miembros al cuadrado, queda $x^2=25$, con dos soluciones: $5$ y $-5$. Verifica. Surgió una solución extraña a la original.
ALGUNAS OPERACIONES QUE PUEDEN QUITAR SOLUCIONES
Dividir entre un polinomioEjemplo $x^2=3x$ tiene dos soluciones: 0 y 3. (verifica)
¿Por qué no es conveniente dividir entre polinomios ambos lados de una ecuación?
Principalmente, porque estamos provocando una división entre 0 cuando el valor de la variable es una raíz del polinomio.
Si estamos interesados en resolver una ecuación, al dividir por un polinomio, obviando lo dicho, producimos una ecuación que puede tener menos soluciones que la original y queremos conseguir todas las soluciones de la ecuación original.
Comentario: Podemos hacer la salvedad que la variable no puede tomar el valor de sus raíces y analizar estos casos aparte, este procedimiento puede dar más trabajo.
Comentario Usando la división entre 0 y luego la multiplicación entre 0 por medio de una variable, podemos llegar a la conclusión falsa que $0=1$.
¿Por qué un término que está
sumando pasa restando al otro miembro?
Si restamos en ambos lados de la ecuación ese término, producimos una ecuación equivalente a la original y tenemos que en el lado que está sumando se cancela con el término que recién está restando, en el otro lado quedó restando.
$ \cdots+a=\cdots$
$ \cdots+a-a=\cdots -a$
$ \qquad \cdots=\cdots -a$
Si restamos en ambos lados de la ecuación ese término, producimos una ecuación equivalente a la original y tenemos que en el lado que está sumando se cancela con el término que recién está restando, en el otro lado quedó restando.
$ \cdots+a=\cdots$
$ \cdots+a-a=\cdots -a$
$ \qquad \cdots=\cdots -a$
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