ECUACIÓN CONDICIONAL, IDENTIDAD Y
CONTRADICCIÓN





Suponga que se tiene una igualdad con una variable. Si la igualdad se cumple para algunos valores de la variable y para otros no, se llama una ecuación condicional.




Ejemplo
$x + 2 = 0$ es una ecuación condicional pues se tiene al menos un valor de la variable que es solución: x = –2 y hay otros valores de la variable que no son solución: $x = –14$ no es solución.

Para demostrar que una igualdad es una ecuación condicional basta con conseguir una solución y mostrar un valor permitido que no sea solución.




Una igualdad que se cumple para cualquier valor permitido de la variable se denomina una identidad.


Ejemplo
$2(x – 3) = 2x – 6$ es una identidad. Se puede verificar aplicando la propiedad distributiva en el miembro izquierdo y viendo que es igual al miembro derecho.


Una manera de demostrar que una igualdad es una identidad es aplicar propiedades a un lado de la igualdad hasta llegar a la expresión del otro lado de la igualdad.

Ejemplo Demostrar que $ ( x –1)^2 – 1= x( x – 2) $ es una identidad.

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Para demostrarlo, nosotros partiremos del lado izquierdo, aplicaremos propiedades, e identidades hasta llegar al lado derecho.
$ ( x –1)^2 – 1=$
$\qquad = x^2 – 2x + 1 – 1 $ producto notable
$\qquad = x^2 – 2x $ factorizamos
$\qquad = x( x – 2)$ el lado derecho







Una ecuación es una contradicción si no tiene solución. Es decir, si no hay ningún valor de la variable que haga cierta la igualdad.


Ejemplo
$ x^2 + 1 = 0 $ es una contradicción. Una manera de demostrarlo es argumentando que el miembro izquierdo es mayor a cero para cualquier valor de la variable. Así no hay un valor posible de la variable que haga cierta la igualdad.

Una contradicción también es conocida como una ecuación inconsistente.


En las igualdades en que los miembros son polinomios a lo sumo de primer grado es fácil determinar si se tiene una ecuación condicional, identidad o una contradicción. La idea es aplicar las recomendaciones para resolver ecuaciones lineales, ir obteniendo ecuaciones equivalentes hasta que de manera evidente podemos concluir.
♦ Si llegamos a que se tiene una sola solución es claro que es una ecuación condicional.
♦ Si obtenemos una igualdad numérica falsa entonces es una contradicción. y
♦ Si llegamos a una igualdad numérica cierta entonces se tiene una identidad.

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Ejercicios
Clasifique cada una de las siguientes igualdades como una ecuación condicional, idéntidad o una contradicción.
1.1) $ 2(x – 1) – x = x + 1; $
1.2) $ x – 4 = \dfrac{x}{2 } – 2( 2 – \dfrac{x}{4 } ); $
1.3) $ 4(x – 1)=3(x + 2) $

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1.1)   Una contracción      
1.2)   Una idéntidad
1.3)  Una ecuación condicional. Tiene una sola solución: $x=10.$