MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
PARA RESOLVER ECUACIONES POLINÓMICAS

ECUACIONES PRODUCTO  IGUAL A  CERO

La ecuación en la forma (x‐a)(x‐b)=0 se puede resolver rápidamente usando la propiedad multiplicativa del cero, un producto es cero si al menos uno de los factores es cero. Así que este producto es cero si y sólo si

(x‐a)=0 o (x‐b)=0

Resolvemos, ambas ecuaciones:

x=a o x=b.

En conclusión, el conjunto solución de la ecuación (x‐a)(x‐b)=0 es {a,b}.

Podemos considerar estas ideas para resolver ecuaciones polinomiales más complicadas, llevando la ecuación a otra equivalente con el 0 en un miembro y el otro lado expresado como un producto.

VIDEO 1
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN PARA
RESOLVER ECUACIONES POLINOMIALES

En este video se resolverán ecuaciones de la forma un producto igual a cero o que fácilmente se pueden llevar a esta forma. La técnica para resolver este tipo de ecuaciones se basa en que si un producto es cero es porque al menos un factor es cero. Se establecen los pasos de la técnica de factorización, se muestran ejemplos y se dan recomendaciones de trabajo.


Ejercicios para después del video
1) Resuelva, por factorización, cada una de las siguientes ecuaciones:

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Respuestas 1.1) {2,–3}   1.2) {–4,0,1,5}  
1.3) {1,–5}   1.4) {1,3}  



NÚMERO DE RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA
Una ecuación polinómica tiene a lo sumo $n$ raíces reales distintas, donde $n$ es el grado del polinomio. Esto ocurre cuando cada raíz es real y tiene multiplidad uno.

Ejercicio
2) Resuelva, por factorización. Señale la multiplicidad de las raíces.
$ \; x^{3}+4x^{2}+4x=0 $

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Respuesta    {0,–2}.

–2 tiene multiplicidad 2.




   

VIDEO 2
EJEMPLO DE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA

Se presenta una ecuación de grado tres. Se hace la observación que como es de grado tres tiene a lo sumo tres raíces reales. Se resuelve la ecuación por la técnica de factorización, factorizando por el método de Ruffini.




Ejercicio para después del video
3) Resuelva, por factorización, cada una de las siguientes ecuaciones. Señale la multiplicidad de las raíces
${\bf 3.1)} \; x^{3}-2x^{2}-5x+6=0 \\ {\bf 3.2)} \; x^{4}+5x^{3}+6x^{2}-4x-8=0 $
Respuestas  
3.1) Conjunto solución={1,–2,3}
3.2) {1,–2};    –2 tiene multiplicidad 3.

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ANIMACIÓN 3
EJEMPLO DE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA

Estamos interesados en las soluciones reales de una ecuación polinomial. Al aplicar el método de factorización para resolver una ecuación se tiene que resolver ecuaciones más sencillas que la original.

En la animación se resuelve una ecuación polinómica en que se presenta otra situación distinta al ejemplo anterior. En este caso se logra factorizar como producto de polinomios de primer grado con un polinomio de segundo grado sin raíces reales.


Ejercicio para después del video
4) Resuelva, por factorización, cada una de las siguientes ecuaciones. Señale la multiplicidad de las raíces. ${\bf 4.1)} \; x^{4}-18x^{2}+81=0 \\ {\bf 4.2)} \; x^{3}+x^{2}-11x-3=0 $

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Respuestas
4.1) {$3,-3$}   ambas con multiplicidad 2.

4.2) {$3,-2+\sqrt{3}, -2-\sqrt{3}$}  


Observe que la ecuación de la animación tiene la forma un polinomio igual a otro polinomio, con factores comunes. No se simplifican los factores comunes, la ecuación se resuelve por factorización.

Ejercicios para después de la animación
5) ¿Por qué en la ecuación del video se decidió no simplificar los factores comunes?


6) Resuelva cada ecuación
6.1) $ (x-1)^2(x-3)=(x-1)(2x-3) $
6.2) $ 2(x-2)^3(x-3)-(x-2)^2(x-4)=0$

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Respuestas
5) Al cancelar se puede perder soluciones, por ejemplo, 0 es una solución de la ecuación original, al cancelar, (equivalentemente dividir entre la variable ambos miembros y cancelar) se pierde esta solución.

6.1) {$0,1$}.
6.2) {$2, \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{4}$}. $2$ con multiplicidad $2$.