ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE
SEGUNDO GRADO
Distintos métodos para resolverlas

Las soluciones de una ecuación cuadrática
siempre se pueden determinar usando la fórmula cuadrática o resolvente


Pero en ocasiones puede ser resuelta de una manera más rápida usando otros métodos.


ECUACIONES CUADRÁTICAS
FORMULA CUADRÁTICA

En el video se establece la definición de una ecuación cuadrática y de la forma general o canónica de la ecuación. Se muestran ejemplos de ecuaciones cuadráticas, determinando sus coeficientes. Se introduce la fórmula cuadrática, estableciendo cuando la ecuación tiene dos soluciones, una o ninguna solución real, en base al discriminante. Se muestran ejemplos de cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando esta fórmula, dando consejos de trabajo.



Ejercicio para después del video
1) ¿Cuál es la fórmula cuadrática? ¿Cuándo se usa?
2) ¿Cuándo una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales, una solución o no tiene solución real?
3) Resuelva cada ecuación:
3.1) $2x^2+x-2=0;\quad$ 3.2) $x^2+2x+5=0;\quad$ 3.3) $x^2+4x+4=0 \quad$

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CONSEJOS PARA ANTES
DE APLICAR LA FÓRMULA CUADRÁTICA

Podemos considerar transformar la ecuación en otra equivalente para evitar cuentas tediosas en la fórmula cuadrática. Al lado mostramos un ejemplo sencillo, que quizás el ahorro de trabajo no es significativo, pero en otras situaciones podemos encontrarnos con cuentas más sencillas.

Ejemplo En la ecuación $−x^2−4x+5=0$ podemos aplicar directamente la fórmula cuadrática.
Pero también podemos transformar la ecuación en otra equivalente, multiplicando ambos lados de la ecuación por −1, consiguiendo una ecuación equivalente con coeficiente principal igual a uno:

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Abajo damos algunos consejos para aplicar a determinadas ecuaciones de segundo a fin que resulte las cuentas más sencillas luego de aplicar la resolvente

Consejos para preparar la ecuación

♦ Si existen denominadores, multiplique ambos lados de la ecuación por el mcm de los denominadores a fin de eliminarlos.

♦ En la forma $ax^2+bx+c=0$, saque factor común y simplifique.

♦ Si el coeficiente principal tiene un radical, multiplique ambos lados de la ecuación por el factor racionalizante a fin de obtener un coeficiente principal sin radicales.

♦ Si existen coeficientes con decimales, multiplique ambos lados de la ecuación por la potencia de 10 adecuada a fin de eliminarlos.

♦ Si el coefinciente principal tiene un radical, multiplique ambos lados de la ecuación por el factor racionalizante a fin de obtener un coeficiente principal sin radicales.


Ejercicios
Resuelva cada ecuación, si lo considera, transforme la ecuación en otra equivalente a fin de tener operaciones más sencillas en la fórmula cuadrática.
$ 6.1)\; \frac{x^2}{4}+\frac{x}{12}-\frac{1}{3}=0;\\ 6.2) \; 0,02x^2-0,08x-1=0 \\ 6.3) \; 6x^2 -9x-15=0 \\ 6.4) \; \frac{\sqrt{2}x^2}{4}+\frac{x}{12}-\sqrt{2}=0; $

Ecuaciones equivalentes a 6.1-6.3

Ejercicio 6.4 resuelto sin aplicar
la recomendación de radicales,
habría que racionalizar el denominador

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Respuestas
> 6.1) {$1, -\frac{4}{3}$} ;   
6.2){ $ 2-3\sqrt{6}, 2+3\sqrt{6}$};
6.3) {$ -1, \frac{5}{2}$};
6.4) { $ \frac{8}{3\sqrt{2}}, - \frac{3}{\sqrt{2}}$ }




Pregunta
¿Se puede usar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones incompletas de la forma $ ax^2+c=0 $ y $ax^2+bx=0?$

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Respuesta    Si se puede usar, en el primer caso $b=0,$ en el segundo $c=0.$ Pero lo recomendable es usar los métodos que se explican en el siguiente video.




VIDEO 2
DIVERSOS MÉTODOS PARA
RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS

Se muestran distintos procedimientos para resolver ecuaciones de segundo grado. La técnica usada para resolver depende de cómo se presenta la ecuación. Se considera la ecuación con forma un cuadrado igual a constante, un producto de factores lineales igual a cero y la forma general que usa la fórmula cuadrática o resolvente. Si una ecuación cuadrática no está en alguna de estas formas entonces se intenta llevar a alguna de ellas. Para llevarlo a la forma un producto igual a cero, muchas veces se necesitará factorizar, de allí el nombre: método de factorización. En el video se discute sobre la existencia de raíces reales. Se ilustra con variados ejemplos.





Ejercicios
Resuelva cada ecuación con el método que usted le parezca más apropiado.
4.1) $x^2+6x=0 \quad$ 4.2) $x^2-5x=-6 \quad$ 4.3) $(x-2)^2-16=0 \quad$ 4.4) $(x+2)(x+6)= (x+3) \quad$

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Respuestas    4.1) {0,-6};   
4.2) { 2,3};
  4.3){ 6,-2};
  4.4){$ \frac{-7-\sqrt{13} }{2}, \frac{-7+\sqrt{13 }}{2} $}



DOCUMENTO
RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS
COMPLETANDO EL CUADRADO

El documento empieza mostrando una ecuación cuadrática escrita en una forma fácil de resolver: El cuadrado de un binomio igual a constante. Ecuaciones cuadráticas más generales pueden ser llevadas a esta forma usando la técnica de completación del cuadrado. Se muestran diversos ejemplos en orden de complejidad. Este método se usa en la demostración de la fórmula cuadrática o resolvente.

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Ejercicios para después de leer el documento

Resuelva cada ecuación completando cuadrados
5.1) $x^2+4x-2=0 \quad$ 5.2) $2x^2-14x+3=0 \quad$

Ejercicio 5.1 resuelto

Ejercicio 5.2 resuelto paso a paso




DOCUMENTO
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA


Se demuestra la fórmula cuadrática. La deducción usa la técnica de completación de cuadrados, empleada en otros contextos.

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