ECUACIONES RACIONALES Y
SOLUCIONES EXTRAÑAS

Método del MCD

En lo que sigue trataremos ecuaciones racionales, ecuaciones en que los términos son expresiones fraccionarias con numeradores y denominadores polinomios, específicamente estaremos interesados en resolver aquellas en que en al menos un denominador aparece la variable.

Ejemplos





Hay diversos procedimientos para resolver este tipo de ecuaciones. En general, los procedimientos transforman a otra sin denominadores, pudiendo resultar la ecuación obtenida con más soluciones que la original.

Las soluciones de la ecuación transformada que no son soluciones de la original se llaman soluciones extrañas (a ésta).


Es claro que si un valor de $x$ hace cero algún denominador, esa expresión racional no puede ser evaluada en ese valor de la variable. Diremos que es un valor no permitido a la variable, y por consiguiente, ni siquiera tiene sentido considerarlo como solución de la ecuación racional. Los valores no permitidos también son conocidos como valores excluidos del dominio de la variable.

Al transformar la ecuación en otra sin denominadores, puede ocurrir que un valor no permitido sea solución de la ecuación transformada, si esto llega a ocurrir, es claro que debe ser eliminado.

Una buena práctica al resolver una ecuación racional es establecer desde el comienzo el conjunto de valores no permitidos, para de una vez, si estos son solución de la ecuación transformada, eliminarlos como solución de la ecuación original. Si cada denominador se factoriza, se podrá rápidamente establecer la lista de los valores no permitidos de la variable o excluidos de su dominio.




Método del MCD


Un método muy recomendado para resolver ecuaciones racionalesque tienen más de dos expresiones fraccionarias en la ecuación es la del mínimo común denominador, MCD, ( mínimo común múltiplo de los denominadores). A continuación precisamos los pasos del método.

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN RACIONAL POR
EL MÉTODO DEL MCD
Haz clic para ver cómo aplicar los pasos del método del mínimo común múltiplo de los denominadores. para resolver la ecuación $$\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}$$ Paso 1 Factorizar cada denominador, calcular el mcm de éstos.
Paso 1 En este caso, cada denominador está completamente factorizado.

mcm de los denominadores ($x$,$x^2$,$x-1$)$=x^2(x-1)$
Recuerde que el mcm son los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Paso 2 Encontrar el conjunto de valores no permitidos a la variable.
Es el conjunto formado por todos los valores $x$ que anulan algún denominador.
Los denominadores $x$ y $x^2$ se hacen $0$ en $0$.
El denominador $x-1$ se hace 0 en $1$.

Paso 3 Multiplicar ambos miembros por el mínimo común multiplo de los denominadores a fin de eliminar los denominadores.

Multiplicamos cada miembro por el mínimo. Hace falta los paréntesis en el lado derecho. $$ x^2(x-1)\cdot \frac{1}{x^2}= \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x-1} \right) \cdot x^2(x-1) $$ Multiplicamos, en el lado derecho hay que distribuir. Al multiplicar las fracciones vemos que se van todos los denominadores, llegando a $$ x-1= x(x-1)-x^2 $$

Paso 4 Identificar la ecuación resultante y resolverla
$$ x-1= x(x-1)-x^2 $$ Aparentemente es una ecuación cuadrática, buscamos la forma general, $ax^2+bx+c=0$ $$x-1=x^2-x-x^2$$ Al simplificar, la ecuación se reduce a una lineal $$x-1=-x$$ Despejamos la variable $$x=\frac{1}{2}$$

Paso 5 Eliminar las soluciones que estén en el conjunto de valores de la variable no permitido, que hagan cero algún denominador.
De una vez, como ya sabemos que los denominadores se hacen 0 en 0 y 1. Vemos que la solución 1/2 es un valor permitido de la variable. Por tanto, en solución de la ecuación original.
En definitiva, Conjunto solución={1/2}



Ejemplo Resolver la ecuación $$2-\frac2{x-2}- \frac2{x^2-2x}=\frac1x$$
Solución
Paso 1   Se factoriza cada denominador $$2-\frac2{x-2}- \frac2{x(x-2)}=\frac1x$$ Se calcula el mínimo común denominador
            MCD=${\color {blue}{x(x-2)}}$  
Paso 2   Valores no permitidos a la variable = {0,2}
Paso 3 Se multiplicar por el MCD ambos lados de la ecuación $$ {\color{Blue}{x(x-2)} }\left( 2-\frac2{x-2}- \frac2{x(x-2)} \right) =\frac1x\cdot {\color{Blue}{x(x-2)} } $$
Se aplica la ley distributiva en el lado izquierdo y se multiplican fracciones en el derecho: $$ {\color{Blue }{x(x-2)} }2- {\color{Blue}{x(x-2)} }\cdot \frac2{x-2}- {\color{Blue}{x(x-2)} } \cdot\frac2{x(x-2)} =\frac{1 \cdot {\color{Blue}{{x(x-2)}} } }x $$
Luego de multiplicar fracciones se cancelan los factores comunes del numerador y denominador: $$ 2x(x-2)- \frac{2x (x-2) } { x-2}- \frac{2 (x ) (x-2 ) } {x (x-2 ) } =\frac{ x (x-2) } {x } $$ Se escribe la ecuación resultante: $$2x(x-2)- 2x-2=x-2$$
Paso 4 Se tiene una ecuación cuadrática, se resuelve $$2x^2-4x-2x-2=x-2$$ $$2x^2-7x=0$$ $$x(2x-7)=0$$ $$x=0 \qquad {\text{ o bien } } \qquad 2x-7=0$$ La ecuación transformada tiene dos soluciones 0 y $\frac27$
Paso 5
  $ x=0$ es un valor no permitido de la variable en la ecuación original, se elimina. Concluimos

El conjunto solución de la ecuación original es {$\frac27$}






Muchas de las dudas frecuentes pueden ser aclaradas sabiendo que al multiplicar ambos lados de una ecuación por un polinomio, la ecuación transformada contiene todas las soluciones de la inicial y las posibles soluciones de la ecuación transformada extrañas a la inicial son las raíces de ese polinomio.

Preguntas frecuentes sobre las soluciones extrañas cuando se resuelven ecuaciones racionales por el método dl MCD

¿Cuáles son las posibles soluciones extrañas a la ecuación original que pueden surgir al multiplicar por el mcm de los denominadores?
La raíces del mcm de los denominadores. Es decir, aquellos valores de la variable que hacen que algún denominador se anule.


¿Hace falta comprobar cada solución encontrada sustituyéndola en la original y viendo si se satisface la igualdad?
No hace falta comprobar las soluciones encontradas sustituyéndolas en la original y viendo si se satisface la igualdad. Si las cuentas están bien hechas, sólo hay que eliminar aquellas soluciones que anulen algún denominador.


Al resolver una ecuación racional por el método del mcm de los denominadores, ¿pueden surgir otras soluciones extrañas distintas a las raíces de los denominadores?
No, las únicas posibles soluciones extrañas a la original son las raíces del mcm de los denominadores.


¿Es necesario efectuar el paso 2, es decir, encontrar todos los valores no permitidos a la variable?
No hace falta establecer el conjunto completamente, pero si es necesario que una vez que se resuelva la ecuación sin denominadores, eliminar las soluciones que anulen algún denominador.




Puedes ver en los ejemplos ecuaciones resueltas con esta técnica en que se presentan distintas situaciones acerca de las soluciones extrañas.

Un ejemplo en que surge una solución extraña

Un ejemplo en que no surgen soluciones extrañas

Un ejemplo en que la única solución de la ecuación transformada es extraña a la ecuación original



Ejercicios
3.1) Resuelva cada ecuación
1) $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2+2x+1}=\frac{1}{x^2-x}$
2) $\frac{x+1}{x+3}=\frac{2}{x^2+5x+6}-\frac{1}{x+2}$
3) $\frac{2}{x-1}=\frac{4}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}$
4) $\frac{1}{{x}^{2}+5\,x+6}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x}$
5) $\frac{1}{x+2}=2-\frac{4}{{x}^{2}-4}$

Pulsa el botón para ver las respuestas

1) Conjunto solución ={–1}
x=1 es una solución extraña a la original.

2) Conjunto solución ={–1}
x=–3 es una solución extraña a la original.

3) El conjunto solución es vacio
x=1 es una solución extraña a la original.

4) Conjunto solución ={–6, –1}

5) Conjunto solución ={5/2}.
–2 es una solución extraña