JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
ORDEN PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES
COMBINADAS ENTRE  NÚMEROS REALES
+,-, ×, ÷

Resumen de la sección ⋅ En una expresión numérica puede aparecer más de un operador. Para determinar la expresión hay que respetar la jerarquía de las operaciones. En esta sección primero se establece la jerarquía de las operaciones. Luego, se verán ejemplos de cómo determinar una cuenta rápidamente, respetando siempre la jerarquía de operaciones, analizando la expresión, rescribiéndola usando propiedades de los números reales.

La palabra jerarquía viene del griego, de los términos hieros, sagrado y arkhei que significa orden. Por extensión, aquí el vocablo jerarquía indica un orden establecido en que deben ser efectuadas las operaciones cuando aparecen más de dos operadores combinados.

VIDEO 1
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES.
EFECTUAR LAS OPERACIONES RÁPIDAMENTE ?

¿Cuál es el valor de 7+3·4? 40 ó 19. Hay dos operadores en la expresión numérica: + y ·. En el video se establece el orden o jerarquía de las operaciones cuando en una expresión numérica aparecen sumas "+", diferencias "–", multiplicaciones " · ", divisiones " ÷ " y signos de agrupación. Se muestran algunos ejemplos en que se sigue el orden dado por la jerarquía de las operaciones. Se proponen estrategias para determinar una expresión numérica de manera más rápida.



Ejercicio para después del video
1)
Determine el valor numérico de cada expresión.




La multipliplicación o división que esté más a la izquierda tiene prioridad

Esta convención tiene importancia cuando aparecen divisiones combinadas con otras divisiones o multiplicaciones, pues la propiedad asociativa no se cumple con la división.


Ejemplo
Determine el valor numérico de





Si queremos indicar que la multiplicación debe ser efectuada primero, entonces es necesario colocar paréntesis. $$12 \div (3 \cdot 2 ) $$ Podemos verificar que $12 \div (3 \cdot 2 ) \ne 12 \div 3 \cdot 2 $

$12 \div (3 \cdot 2 ) =12 \div 6 $     Operaciones entre paréntesis

       $= 2 \ne 8$




Si sólo se tiene multipliplicaciones no importa el orden en que se ejecuten, $a\cdot b \cdot c$

Por la propiedad asociativa y conmutativa podemos alterar el orden de las multiplicaciones cuando se tiene un producto de más de dos factores.


Ejemplo
Determine el valor numérico de $135\cdot 5\cdot 2$ sin aplicar propiedades de los números reales.
Solución
Por la jerarquía de las operaciones, primero se efectúa la primera multiplicación de izquierda a derecha.

${\color{DarkRed} {135\cdot 5}}\cdot 2 = {\color{DarkRed} {675}}\cdot 2 $   Primera multiplicación

       $= 1350$



La propiedad asociativa, $(a\cdot b) \cdot c= a\cdot (b \cdot c) $ permite determinar esta cuenta de manera más rápida

$135 \cdot 5 \cdot 2 =135 \cdot (5 \cdot 2 )$

      $ =135 \cdot 10 $     Operaciones entre paréntesis

       $= 1350$





Recuerda que las propiedades asociativas y conmutativa son sólo para la multiplicación y sólo para la suma.


Propiedad asociativa sobre la multiplicación $$(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$$ Propiedad asociativa sobre la suma $$(a+ b)+ c = a+ (b+ c)$$



Sumas y restas de expresiones con productos y cocientes


Podemos ahorrarnos algunas líneas de trabajo cuando se tienen expresiones que son sumas y restas cuyos términos son expresiones que contienen productos y cocientes, pues cada término puede ser calculado al mismo tiempo. En el ejemplo ponemos en primer plano el desarrollo procediendo con la primera multiplicación o división de izquierda a derecha hasta eliminar en cada línea todas estas operaciones, luego efectuamos las sumas y restas. Te darás cuenta que los resultados entre los $+$ y $-$ son independientes. Así que podemos calcular de manera simultánea las operacioneciones entre dos signos consecutivos de sumas algebraicas.


Ejemplo
Determine el valor numérico de




VIDEO 2
OPERACIONES COMBINADAS USANDO PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Se siguen calculando expresiones numéricas, buscando en cada ejemplo estrategias que permitan calcularlas más rápidamente, siempre respetando el orden o jerarquía de las operaciones. En este video se considera aplicar propiedades de los números reales para escribirla de manera equivalente, si la expresión reescrita resulta más fácil de calcularla.



Ejercicios para después del video
2)
Determine el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones simplificada.
2.1) 24   2.2) 120;   2.3) 111


Ejercicios para después del video
3)
Determine el valor numérico de cada expresión aplicando los dos procedimientos descritos.