¿Qué diferencias hay entre los números racionales e irracionales?
Representación gráfica

El conjunto de los números reales está conformado por el conjunto de los números racionales y por el conjunto de los números irracionales. Son conjuntos disjuntos entre si. La diferencia significativa entre estos números parte de la definición de un número racional y de la representación decimal de dichos números.

Números racionales

Los números racionales se definen a partir del conjunto de los números enteros, Z={...,-2,-1,0,1,2,3...}.
Un número es racional si puede ser representado como el cociente de dos números enteros. Es claro que 4/3 es un número racional pues está escrito como cociente de dos números enteros.

Algunos números racionales y por qué son racionales son expuestos en el siguiente recuadro.


Del recuadro podemos ver que un número entero es racional.
Observa además la representación decimal de los números expuestos en el recuadro, tienen una expansión decimal finita o infinita periódica. Efectivamente, tenemos
Un número es racional si y sólo si su representación decimal es finita o infinita periódica.

Así que sin necesidad de conseguir el cociente de enteros podemos justificar que los siguientes números son racionales.




Ejercicio Clasificar el número 13/6 como entero, racional, irracional o real.

Respuestas
13/6 es un número entero, racional y real
Pulse para ver la respuesta



Números irracionales


Los números reales que no pueden ser escritos como cocientes de enteros son números irracionales
Los siguientes son ejemplos de números irracionales
$$\sqrt{2},\; \sqrt{5},\; \log 4,\; \pi$$

Los números irracionales se caracterizan porque su representación decimal es infinita no periódica.

Esta característica nos permitie clasificar algunos números como irracionales.





Representación de los números en la recta real


Hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta real y el conjunto de los números reales. Esto quiere decir que un punto en la recta real le podemos hacer corresponder un único número real y a cada número real le corresponde un único punto en la recta numérica.

Para obtener la representación de un número real, trazamos una línea recta dónde marcamos el 0, luego a la derecha del cero marcamos el 1, con esto definimos la unidad.
Si un número x es positivo estará ubicado a la derecha del 0, a x unidades del 0, el origen. Si un número es negativo estará localizado a la izquierda del 0, a -x unidades el mismo.
Abajo mostramos cómo obtener la representación exacta de algunos números reales.


Representación exacta de los números racionales en la recta real.

Si el número es positivo
Primer paso: Representamos el número como un número entero más una fracción entre cero y uno
Segundo paso: Nos desplazamos del 0 el número entero más la fracción obtenida en el paso anterior. Para desplazarnos, primero nos movemos al entero, luego el intervalo hasta el siguiente entero lo dividimos en tantas partes iguales como indica el denominador de la fracción obtenida, y nos desplazamos tantas partes como indica el numerador, allí está la representación del número.

Ejemplo    Represente en la recta real el número




Si el número es negativo
Representar el número positivo y luego reflejar con repecto al origen.
Ejemplo    Localizar en la recta real el número
  



Representación de algunos números irracionales

Al lado has visto un procedimiento que permite representar de manera exacta cualquier número racional en la recta real, Lamentablemente no existe un único método para representa cualquier número irracional.

Vamos a mostrar cómo representar de manera exacta algunos números irracionales. Aquellos que pueden ser expresados como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos enteros, pues usaremos el teorema de Pitágoras para lograr la ubicación del punto.
Mostramos un ejemplo explicado paso por paso

Ejemplo    Represente en la recta real el número