SUCESIONES O PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una sucesión numérica es una lista de números en que es importante el orden en que se presentan. Por ejemplo, 3,5,7,9,... Los puntos suspensivos indican que la lista continua indefinidamente.
Hay sucesiones que siguen un patrón fácil de determinar. Una de ellas es la sucesión de este ejemplo. Aun cuando no se muestra la lista completa, ni la expresión general, la sucesión parece seguir la regla que el siguiente término, a partir del segundo, es el anterior más dos. Este tipo de sucesión es conocida como sucesión aritmética o progresión aritmética.

Contenido
1 Definición y ejemplos 2 Representación gráfica 3 Fórmula del término general. Ejemplo 4 Problemas resueltos con una ecuación 5 Problemas resueltos con un sistema de ecuaciones 6 Suma de los términos de una progresión aritmética. Fórmula 7 Problemas sobre suma de los términos de una progresión aritmética 8 Número de términos a sumar: Problema resuelto usando la fórmula





Una sucesión es aritmética si todas las diferencias consecutivas son iguales.



Definición. Ejemplo

Definición
Una sucesión $a_1,a_2,a_3\cdots a_n\cdots$ se llama una sucesión aritmética o progresión aritmética si existe una constante $d$ tal que $ d = a_n-a_{n-1} $ para todo $n > 1$

La constante $d$ es llamada la diferencia común.
Observación Al despejar $a$ obtenemos una característica de este tipo de sucesiones:

$a_n=a_{n-1}+d \quad $ para todo $\quad n>1$


Un término se obtiene del anterior sumándole una constante.

Ejemplo Indique cuáles de las siguientes sucesiones pueden corresponder a una progresión aritmética.
a) –2,1,4,7,...
b) 5,5,5,5,...
c) –2,2,4,8,...
d) 10,5,0,– 5,...
a) –2,1,4,7,... Si puede corresponder a una progresión aritmética con diferencia común igual a 3. Efectivamente,
Segundo término– primer término=1–(–2)=3
Tercer – segundo término=4–1=3
Cuarto término – tercer término =7–4=3

b) 5,5,5,5,... Si puede corresponder a una progresión aritmética con diferencia común igual a 0. Efectivamente,
Segundo término– primer término=5–5=0
Tercer – segundo término=5–5=0
Cuarto término – tercer término =5–5=0

c) –2,2,4,8,... No corresponde a una progresión aritmética, pues no hay una diferencia en común. Observe que la primera diferencia es 4 y la segunda es 2:
Segundo término – primer término=2–(–2)=4
Tercer –segundo término=4–2=2

d) 10,5,0,– 5,... Si puede corresponder a una progresión aritmética con diferencia común igual a –5. Efectivamente,
Segundo término – primer término=–5–10=–5
Tercer – segundo término=0–5=–5
Cuarto término – tercer término =–5–0=–5.








Ejemplo Escriba los primeros cinco términos de una sucesión aritmética cuyo primer término es 3 y la diferencia común es 0,5.
3   3,5  4  4,5  5


La representación gráfica

La diferencia común, representada por la letra $d$, puede ser positiva, cero o negativa, como se puede ver en el ejemplo a), b) y d) respectivamente. De acuerdo al signo de la diferencia común la sucesión es creciente, constante o decreciente.

Ejemplo Representar en el plano $n\times a_n$ los primeros cuatro términos de las sucesiones aritméticas estudiadas
a) $a_1=-2$ $d=3$
b) $a_1=5$ $d=0$
d) $a_1=10$ $d=-5$



La gráfica de una sucesión aritmética, $n$ vs. $a_n$ está sobre una línea recta.

La gráfica es decreciente si $d$ es negativo
Está sobre una línea horizontal si $d$ es cero.
Es creciente si $d$ es positivo.



   

Fórmula del término general. Problema resuelto

Se puede obtener rápidamente cualquier término de la sucesión a partir del primer término y la diferencia común mediante la fórmula dada en el recuadro conocida también como la fórmula del término enésimo.


Fórmula del término general de una progresión aritmética

      $a_n=a_1+(n-1)d\quad $ para todo $n>1$


La fórmula anterior es muy usada en la resolución de problemas de sucesiones aritméticas. Hay que tomar en cuenta que podemos trabajar con cualquier conjunto de números, en cualquier representación: decimales, fracciones, etc.

Problema 1 Determine el término indicado en cada una de las progresiones aritméticas dadas.
a) Décimo término de la sucesión cuyo primer término es 23 y con diferencia común igual a 3,1.



b)Séptimo término de $-\frac{1}{3},\frac{1}{3},1,\frac{5}{3},\cdots$
Solución
Recopilar información, $a_1,\; a_2, \; a_3$ y $ a_4$. Precisar la cantidad a buscar, $a_{7}$
$a_1=-\frac{1}{3},\; a_2=\frac{1}{3}, \; $ $a_3=1 $ y $a_4=\frac{5}{3}$

$a_{7}= ? $


Determinar $d$, planteando la diferencia de cualquier par de términos consecutivos.

Al restar dos términos consecutivos obtenemos $d$

$ {a_4}-{a_3} = \frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}=d$

Efectivamente, cualquier otra diferencia de términos consecutivos, $a_n-a_{n-1}$ obtendremos la misma diferencia, $d=\frac{2}{3}$.


Encontrar $a_7$. Sustituir $d$ y $a_1$ en la fórmula del séptimo término.

$a_7=a_1+ (7-1)d $

$a_7=-\frac{1}{3} + 6\cdot \frac{2}{3} $     Multiplicamos

$a_7=\frac{-1}{3} + \frac{12}{3} $     Suma algebraica de fracciones

$\boxed{a_7=\frac{11}{3}} $





   

Problemas resueltos por medio de una ecuación

En muchos problemas la fórmula del término general es usada para plantear una ecuación que permite encontrar la incógnita.

En problemas 2,3 y 4 se busca encontrar $a_1$, $n$ y $d$ respectivamente. Al sustituir los datos en la fórmula del término enésimo surge en estos casos una ecuación lineal o de primer grado que se resuelve, despejando la variable.



Problema 2 Encuentre el primer término de una progresión aritmética cuyo término décimo es 102 y con diferencia común igual a 4.
Solución
Recopilar información, $d, \; a_{10}$. Precisar la cantidad a buscar, $a_1$

$a_{10}=102$,   $d= 4$

$a_1=?$


Sustituir en la fórmula de $ a_{10}$, para encontrar una ecuación con incógnita $a_1$.

$a_{10}=a_1 + (10-1)d$

$102=a_1 + (10-1)4$


Resolver la ecuación para encontrar $a_1$.

Se tiene una ecuación lineal, se despeja la variable

$102=a_1 + 9\cdot 4$    

$102=a_1 + 36$     Términos constantes en un miembro

$ a_1 =102- 36$

$\boxed{ a_1 =66}$







Problema 3 ¿Cuántos términos tiene la sucesión aritmética con diferencia común 3 que comienza en 13 y termina en 76?
Solución
Recopilar información, $d, \; a_1$ y $a_n$. Precisar la cantidad a buscar, $n$
$a_1=13$,   $d= 3$

$a_n=76$

$n=?$


Sustituir en la fórmula para $a_n$, para encontrar una ecuación con incógnita $n$.

$a_n=a_1 + (n-1)d$

$76=13 + (n-1)3$


Resolver la ecuación para encontrar $n$.

Se tiene una ecuación lineal, se despeja la variable

$76-13 = (n-1)3$     Dividir entre $3$ ambos miembros

$n-1=\frac{63}{3}$     Simplificar

$n= 21+1$

$\boxed{n= 22}$






Problema 4  El primer término de una sucesión aritmética de 20 términos es 73 y el último término es 16. Encuentre la diferencia común de la progresión.
Solución
Recopilar información, $ a_1, \; n, \;a_{20}$. Precisar la cantidad a buscar, $ d $
$ a_1=73, \;\; n=20, \;\; a_{20}=16$


$d=?$


Sustituir en la fórmula de $ a_{20}$, para encontrar una ecuación con incógnita $d$.

$a_n=a_1 + (n-1)d$

$16=73 + (20-1)d$


Resolver la ecuación para encontrar $d$.

Se tiene una ecuación lineal, se despeja la variable


$16=73 + 19d$     Términos constantes en un miembro

$16-73 = 19d$    

$d=\frac{-57}{19}$

$\boxed{ d=-3 }$





En el problema 1 vimos como determinar un término particular de la sucesión cuando a1, n y d , son conocidas. Si alguna de estas cantidades resulta desconocida, primero se determina con las informaciones dadas en el problema, para luego encontrar el término pedido usando la fórmula del término general. Mostramos el siguiente ejemplo.


Problema 5 El primer término de una sucesión aritmética de 12 términos es 65 y el último término es 10. Encuentre el quinto término de la sucesión.
Solución
Recopilar información, $ a_1, \; n, \;a_{12}$. Precisar la cantidad a buscar, $ a_5 $
$ a_1=65, \;\; n=12, \;\; a_{12}=10$


$a_5=?$


Sustituir en la fórmula de $ a_{12}$, para encontrar una ecuación con incógnita $d$.

$a_n=a_1 + (n-1)d$

$10=65 + (12-1)d$


Resolver la ecuación del paso anterior para encontrar $d$.

Se tiene una ecuación lineal, se despeja la variable


$10=65 + 11d$     Términos constantes en un miembro

$10-65 = 11d$    

$-55 = 11d$

$d=\frac{-55}{11} $

$\boxed{ d=-5 }$


Encontrar $a_5$ usando la fórmula del término quinto


$a_5=a_1 + (5-1)d$

    Se sustituyen los valores conocidos.

$a_5=65 + (5-1)d$    

$a_5 = 65 + (4)(-5) $

$ a_5 = 65 + (-20) $

$\boxed{ a_5 =45 }$



   

Problemas resueltos por medio de un sistema de ecuaciones


En ocasiones resulta cómodo plantear un sistema de ecuaciones con las informaciones dadas que permitan encontrar la incógnita de interés.

Problema 6 El tercer y quinto término de una progresión arimética son 10 y 15 respectivamente. Determine la diferencia común de la progresión.



Con las informaciones de dos términos cualesquiera podemos encontrar otro término de la sucesión. Una forma de resolver este tipo de problema es plantear el sistema de ecuaciones dado por las fórmulas de los términos conocidos, al resolver este sistema se encontrará el primer término y la diferencia común. Por último, con estas dos informaciones, se encuentra el término pedido

Problema 7 El séptimo y décimo término de una progresión arimética son 24 y 15 respectivamente. Determine el doceavo término.




   

Suma de los términos de una progresión aritmética. Fórmula

La sumatoria de los primeros términos de una progresión aritmética

puede ser calculada a partir del primer y último término mediante la fórmula dada en el recuadro.

Fórmula para la suma de los primeros $n$ términos de una progresión aritmética

      para todo $n>1$.


La fórmula anterior es muy usada en la resolución de problemas de sucesiones aritméticas.


   

Problemas sobre sumas de los términos de una progresión aritmética

Problema 8 Determine la suma de una progresión aritmética de 12 términos con primer y último término iguales a 4 y 22.






Problema 9 Determine la suma de los impares positivos hasta 99.




Problema 10 Determine la suma de los números pares entre 12 y 214.
Solución
Recopilar información, $ a_1, \;a_{n}\; d, $. Precisar la cantidad a buscar, $ S_n $
$ a_1=12, \;\; a_{n}=214$

Es una progresión aritmética, pues todas las diferencias consecutivas son iguales a $2$

$d=2$

$n=?$ y $S_n=?$


Sustituir en la fórmula de $ a_{n}$, para encontrar una ecuación con incógnita $n$.

$a_n=a_1 + (n-1)d$

$214=12 + (n-1)2$


Resolver la ecuación del paso anterior para encontrar $n$.

Se tiene una ecuación lineal, se despeja la variable


$202=(n-1)2$     Términos constantes en un miembro

$101 = n-1$    

$n = 102$



Encontrar $S_n$ usando la fórmula


$S_{n}=\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

    Se sustituyen los valores conocidos,

$S_{102}=\frac{102}{2}(12 + 214)$    

$ S_{102}= 51\cdot 226 $

$\boxed{ S_{102}= 11526}$





La suma de una progresión aritmética puede ser abreviada usando la notación de sumatoria o notación sigma.


Problema 11 Encuentre $$\sum_{k=1}^{20} { ( -25+3k ) }$$






Para usar la formula dada hay que conocer el primer y último término, así como la cantidad de términos de la sucesión a sumar. Si no se conoce alguno de estos datos se determina primero, con las informaciones dadas en el problema.

Problema 12 Encuentre la suma de una progresión aritmética de 15 términos con diferencia común igual a –4 y primer término igual a 7.



   

Número de términos a sumar: Problema resuelto usando la fórmula


En ocasiones la cantidad de interés es el número de términos a sumarse. En el siguiente problema al sustituir los datos en la fórmula surge una ecuación cuadrática o de segundo grado que se resuelve por la fórmula cuadrática o resolvente.

Problema 13 ¿Cuántos términos de la sucesión aritmética 11,13,15,.... deben sumarse para que la suma sea igual a 325?




Ejercicios

1-7  Determine la cantidad específicada para la progresión aritmética que satisface las condiciones dadas.

1)   $a_7=?~~,~~ a_1=-3 ~~,~~ d=-2 , $

2)   $ a_{ 7 } = ? ~~,~~a_1 = -\frac{ 3 }{ 2 } ~~,~~ d = -\frac{ 5 }{ 2 } $

3)   $a_{ 1 } = ? ~~,~~ a_{ 7 } = \frac{ 58 }{ 3 }~~,~~ d = \frac{ 7 }{ 2 } $

4)   $d = ? ~~,~~ a_{ 13 } = 3 ~~,~~ a_{ 1 } = 2 $

5)   $d = ? ~~,~~ a_{ 6 } = 1,42~~,~~ a_{ 12 } = 1,54$

6)   $a_1 = ? ~~,~~ a_{ 8 } = -\frac{ 29 }{ 10 }~~,~~ a_{ 12 } = -\frac{ 17 }{ 10 }$

7)   $ a_{ 8 } = ?~~,~~ a_{ 13 } = -\frac{ 23 }{ 3 } ~~,~~ a_{ 20 } = -\frac{ 37 }{ 3 }$

8) ¿Qué lugar ocupa el término que vale $9$ en una progresión aritmética que comienza $ -\frac{ 1 }{ 3 } $ y tiene diferencia común $\frac{ 2 }{ 3 }$ ?

9) Demuestre que $\log 2, \log 4, \log8, \cdots \log 2^n\cdots $ es una progresión aritmética. Diga cuál es la diferencia común.



Problemas de sumas

10) Encuentre la suma de los primeros 12 términos de la progresión aritmética $$\sqrt{2}+3\sqrt{2}+5\sqrt{2}+\dots$$

11)   $S_{ 10 } = ? ~,~ a_1 = \frac{ 2 }{ 5 } ~,~ d = \frac{ 3 }{ 10 } $

12)   Calcule $$\sum_{i=0}^{15}{3+5i}$$

13)   Calcular la suma de todos los múltiplos de $3$ entre 100 y 200?

14) ¿Cuántos términos deben considerarse para que en una progresión aritmética con primer término igual $2$ y diferencia común $0,3$, la suma sea igual a $\frac{ 374 }{ 5 }$?

15)   $a_1 = ? ~~,~~ a_{ 13 } = 13 ~~,~~ S_{ 5 } = 4 $

16)   $ d = ? ~~,~~ a_{ 12 } = 49 ~~,~~ S_{ 11 } = 40 $

1)   $a_{ 7 } = -15$

2)   $ a_{ 7 } = -\frac{ 33 }{ 2 } $

3)   $a_1 = -\frac{ 5 }{ 3 } $

4)   $ d = \frac{ 1 }{ 12 } $

5)   $d=0,02$

6)   $a_1 = -5 $

7)   $a_{ 8 } = -\frac{ 13 }{ 3 }$

8) $n=15$

9)   Ayuda: $\log 2^n=n\log 2$
Respuesta $d=\log 2$



Problemas de sumas

10)   $144\sqrt{2}$

11)   $ S_{ 10 } = \frac{ 35 }{ 2 } $

12)   648

13)   4950

14)   17 términos

15)   $ a_1 = -\frac{ 41 }{ 25 } $

16)   $ d = \frac{ 499 }{ 66 }$