Formas indeterminadas del tipo 0/0

Cálculo de límites usando procedimientos algebraicos


En el límite


no podemos aplicar la regla del cociente, porque el límite del denominador es igual a 0. Aún cuando tenemos el límite de una función racional. Tampoco podemos aplicar sustitución directa, pues la función no está definida en $x = 2.$ Observe que cuando sustituimos $x$ por 2 obtenemos la expresión no definida "0/0". Pero esto no indica nada si el límite existe o no.y en caso que exista, cuál es su valor. Una tabla de valores, como la que te mostramos al lado, y la gráfica de la función sugieren que en este caso el límite existe y su valor parece ser 4.


    El límite $\lim_{x\rightarrow a} \frac{g(x)}{h(x)}$ tiene forma indeterminada del tipo $\frac{0}{0}$ si $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ y $\lim_{x\rightarrow a}h(x)=0$

La expresión indeterminada es porque el resultado de la sustitución: 0/0, no sugiere nada sobre si el límite existe o no, y si existe cuál es su valor.


Tabla de valores de $f$ para algunos valores de $x$ aproximándose a 2.

Verás valores de $x$ acencándose por la izquierda y del lado derecho también se toman valores cada vez más cerca de 2.



Gráfica de $f(x)= \frac{x^2-4 } {x-2 } $

Aun cuando la función no está definida en $ x=2,$ los valores de la función se acercan a $4$ conforme $x$ se acerca más y más a $2.$





   
Para resolver algunas indeterminaciones de este tipo nos valemos que el valor del límite depende de los valores de la función en los puntos cercanos al punto $a.$ Así que podemos sustituir la función por otra función que asuma los mismos valores, salvo en a, de tal manera que el límite de la otra función pueda ser obtenido por propiedades y sustitución directa.
Teorema (funciones que coinciden salvo en el punto a)
    Sean $f $ y $g$ dos funciones tales que $f(x) = g(x)$ para todo $x$ pertenciente a un intervalo abierto conteniendo el punto $a$, salvo en el punto $a$. Se tiene que si $$ \lim_{x\rightarrow a}g(x) \ \text{ existe}$$ entonces $$ \lim_{x\rightarrow a}f(x) \ \text{ existe}$$ y $$ \lim_{x\rightarrow a}f(x) = \lim_{x\rightarrow a}g(x) $$

El teorema enunciado puede ser justificado usando la propia definición de límite, tomando en cuenta que el límite no depende del valor de la función en el punto $a. $







   

Como

las funciones $$ f(x)=\frac{x^2-4 } {x-2 } \; \text{ y } \; g(x)=x+2$$ toman los mismos valores, salvo en $x=2$, donde la segunda está definida a diferencia de la primera. Como el límite de $g$ existe, aplicamos el teorema $$ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4 } {x-2 } =\lim_{x\rightarrow 2}\left ( x+2 \right )=4$$ El último se calcula por sustitución directa, por ser $g$ un polinomio.


Normalmente procedemos de manera abreviada


Observe como hemos escrito la fracción "0/0" arriba de la primera igualdad para indicar que tenemos una forma indeterminada.




   


Ya hemos mencionado que un límite con forma indeterminada puede o no existir. Los siguientes son ejemplos triviales de formas indeterminadas que muestran distintas situaciones, resueltas las indeterminaciones al buscar funciones que toman los mismos valores salvo en el punto. $$ \begin{array}{ll} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ 5x} { x } &=^{0/0}\lim_{x\rightarrow 0 }5=5\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ x} { x } &=^{0/0}\lim_{x\rightarrow 0 }5=1\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ x} { x^3} &=^{0/0}\lim_{x\rightarrow 0 } \frac{ 1} { x^2} =+\infty\\ \end{array} $$
En lo que sigue describiremos distintas formas indeterminadas 0/0 y las sugerencias para resolverlas.


   

Límite de cociente de polinomios
Forma indeterminada cero/cero
Factorizar y simplificar

⋄ Se factoriza $(x-a)$ tanto en el numerador como en el denominador.

⋄ Cancelar el factor del numerador con el del denominador.

⋄ Si el límite de la expresión resultante no es una forma indeterminada entonces se consigue el límite por sustitución directa.

Ejercicios
1) Calcular los siguientes límites
$ 1.1) \ \lim_{x\rightarrow -2}\frac{ x^2+4x+4} { x^2-4 } \; \\ 1.2)\ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{ x^2-9} { x^2-3x } \\ 1.3) \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ x^3+4x^2-x} { x^2-4x } \; \\ 1.4)\ \lim_{y\rightarrow 5}\frac{ 25-y^2} { y^2-4y-5 } $
Respuestas 1.1) 0; 1.2) 2; 1.3) 1/4; 1.4) 5/3


Recuerda, para factorizar
⋄ Primero intenta sacar factor común,
 ⋄ Si no  puedes, identifica con algún producto notable
⋄ Finalmente, intentas por Ruffini, con $a$ como raíz

Resolución del ejercicio 1
paso a paso



   

Límite de cociente de polinomios
Formas indeterminadas cero/cero
Factorizar, simplificar, otra vez una forma indeterminada,
volver a factorizar y simplificar

A veces hay que factorizar más de una vez para resolver la indeterminación.

Sabemos que $(x-a)$ es un factor, esto te puede ayuda a encontrar la factorización

Observaciones
1 Al calcular límites es importante que identifiques la situación y apliques la recomendación

2 En el caso de tener un cociente de polinomios, con solo sustituir$x$ por $a$ en el numerador y denominador, nos podemos dar cuenta si tenemos una forma indeterminada 0/0, pues los límites de polinomios se obtienen por sustitución directa.

Ejercicios
2) Calcular los siguientes límites
2.1) $ \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^3+ x^2-x-1} { 2x^2+x-1 } $
2.2) $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{ x^3-x^2-8x+12} { x^4-8x^2+16 }$
Respuestas
2.1) 0; 2.2) 5/12
Abajo está la resolución, explicando cada paso

Resolución paso a paso




   

Forma indeterminada cero/cero
Numerador o denominador un binomio con raíces cuadradas
Racionalizar y cancelar

Cuando se tiene una forma indeterminada del tipo 0/0 en que la función es un cociente donde el numerador o el denominador es un binomio, es decir una suma de dos términos, con uno de los dos términos con raíces cuadradas, la recomendación es

⋄ Multiplicar por uno, ese uno escrito como la fracción con numerador y denominador igual a la conjugada del binomio con radicales.

⋄ Efectuar la multiplicación de fracciones.

⋄ Desarrollar el producto de la suma por su diferencia.

⋄ Luego, se busca cancelar factores que se anulen en $a$ del numerador y del denominador.

⋄ Al cancelar, verifica que no te quedó una forma indeterminada. Entonces pasas a evaluar el límite.

Los productos que no sean el producto de los binomios conjugados no conviene desarrollarlos


Los procedimientos que se describen hacen manipulaciones algebraicas como factorizaciones, racionalización, simplificación, de tal manera que las nuevas funciones tomen los mismos valores, salvo en $a,$ a fin que podamos a estas últimas aplicarles las propiedades de límites

Ejemplo Calcular $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3)}{\sqrt{x} -\sqrt{3} }$$ Solución Se tiene una forma indeterminada del tipo 0/0 pues
$ \lim_{x\rightarrow 3}\left ( {{x} -{3} } \right )=0 \ $ y $ \ \lim_{x\rightarrow 3}\left ( {\sqrt{x} -\sqrt{3} } \right )=0. $
En este caso que se presenta un binomio con radicales en el denominador, raíces cuadradas, racionalizamos el denominador
  ¿Qué se hizo?

¿Qué se hizo?

    $\qquad \quad \quad \; = \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3) \left ( \sqrt{x}+ \sqrt{3} \right )} {\left (\sqrt{x} \right )^2 -\left ( \sqrt{3} \right )^2}$   ¿Qué se hizo?

                      $= \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3) \left ( \sqrt{x}+ \sqrt{3} \right )} {x -3}$    Comentario

                      $= \lim_{x\rightarrow 3} \left ( \sqrt{x}+ \sqrt{3} \right ) $    ¿Qué se hizo?

                      $= \left ( \sqrt{3}+ \sqrt{3} \right )= 2 \sqrt{3} $    ¿?

Podemos ahorrarnos el trabajo de multiplicar por la fracción conjugada/conjugada y pasar de una vez a multiplicar todo el numerador y todo el denominador por la conjugada $$ \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot \frac{a}{a}=\frac{c\cdot a}{d\cdot a} $$



   

Forma indeterminada cero/cero
Numerador o denominador un binomio con raíces cuadradas
Racionalizar, factorizar y cancelar


La recomendación es

⋄ Multiplicar todo el numerador y todo el denominador por la conjugada del binomio con radicales.

⋄ Luego se busca cancelar un factor del numerador con otro idéntido del denominador que se anulen en $a$.

Normalmente, buscamos el factor $(x-a)$. Si no lo tienes en el numerador o en el denominador entonces factorizas. Al cancelar estos factores eliminas la indeterminación.

Los procedimientos que se describen hacen manipulaciones algebraicas como factorizaciones, racionalización, simplificación, de tal manera que las nuevas funciones tomen los mismos valores, salvo en $a,$ a fin que podamos a estas últimas aplicarles las propiedades de límites

Ejercicios
3) Evaluar los siguientes límites
3.1) $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{ x } \; $
3.2) $ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{ x^2-9}{- 3\sqrt{x-2}+x} $
3.3) $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ x } {x+2\sqrt{x} } $
3.4) $ \lim_{x\rightarrow 5}\frac{\sqrt{x-1}-2 }{\sqrt{2}+ \sqrt{x-3} }$


Respuestas
3.1) $\frac{ \sqrt{2}} {4}$ ; 3.2) $-12$; 3.3) 0; 3.4) $\frac{ \sqrt{2}} {2}$

Abajo están los ejercicios resueltos, explicados en detalle.

Resolución paso a paso




4) Verdadero o Falso, justifique

4.1) El valor del límite dado es igual a 0/0 $$\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-3}{ 3-x } $$
4.1) Falso
El límite es igual a -1.
Para determinarlo se factoriza -1 en el denominador y se cancela
$\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-3}{ 3-x } $ $= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-3}{ -(-3+x) }\;$ = \lim_{x\rightarrow 0}-1=-1 $


4.2) Correcto o incorrecto \begin{array}{ll} \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{ 1-\sqrt{x} } &= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{ (1-\sqrt{x} )(1+\sqrt{x} ) }\\ &= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{ 1^2-\left ( \sqrt{x} \right )^2 }\\ &= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{ 1-x }\\ &=1 \end{array}
4.2) Incorrecto
Faltó multiplicar todo el numerador por la conjugada


4.3) Para evaluar el límite dado podemos de una vez reemplazar $x$ por 2 $$ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-2x-1}{ x^3-1 } $$
4.3) Verdadero
Se tiene una función racional definida en $x=2.$
El denominador no se anula en 2.
Por tanto, el límite se obtiene por sustitución directa

$ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-2x-1}{ x^3-1 }\; $ $=\frac{2^3-2\cdot 2-1}{ 2^3-1 } = \frac{3}{ 7 } $
El límite no es una forma indeterminada del tipo 0/0


4.4) \begin{array}{ll} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)}{ x^2-2(x-2)) } &= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{{(x-2)} }{ x^2-2 {(x-2)} } \\ &= \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x^2-2 }\\ &= \frac{1}{ 2^2-2 }= \frac{1}{ 2 }\\ \end{array}
4.4) Incorrecto
$(x-2)$ no es un factor en el denominador. No vale la cancelación. El límite se obtiene por sustitución directa, pues tenemos una función racional definida en 2 $$ \begin{array}{ll} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)}{ x^2-2(x-2)) } &= \frac{{(2-2)}}{ 2^2-2 {(2-2)} } \\ &= \frac{0 }{4 } =0 \end{array}$$ El límite no es una forma indeterminada del tipo 0/0