LÍMITES LATERALES


En algunas funciones como las definidas por partes y las de dominio restringido, como las que tienen raíces cuadradas, se aplican los límites laterales. Por ejemplo, en las funciones con radicales con índice par no tiene sentido hablar del límite en puntos $a$, extremos de los intervalos que conforman el dominio, pero los valores de la función se pueden acercar a un número cuando la variable se acerca por la derecha o por la izquierda al punto en cuestión. En las funciones definidas por intervalos servirán para establecer si la función tiene límite en los puntos donde la función cambia de fórmula y en caso que tenga límite en algún punto, determinar su valor.



   

Estimación de límites laterales a
partir de la gráfica de la función

La gráfica corresponde a una función definida por partes. Vemos que conforme $x$ se acerca a 2 por la izquierda los valores de la función, $f(x)$, se acercan a 3. Por el otro lado, si $x$ se acerca a 2 por la derecha, los valores de la función se aproximan a 1 Los límites laterales son distintos. No hay un solo número al que $ f(x) $ se aproxime, por tanto el límite bilateral no existe.


Definición (intuitiva)
Suponga una función $f$ definida en un intervalo $(c,a).$ Decimos que el límite de $f$ cuando $x$ tiende a $a$ por la izquierda es $L$ si $ f(x)$ se acerca a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$ para valores $x$ menores a $a $.
Esto lo escribimos como     $$ \lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L $$


Observación
El superíndice derecho "-"de $a$ indica que $x$ se acerca a $a$ con valores menores a a

Definición (intuitiva)
Suponga una función $f$ definida en un intervalo $(a,c).$ Decimos que el límite de $f$ cuando $x$ tiende a $a$ por la derecha es $L$ si $ f(x)$ se acerca a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$ para valores $x$ mayores a $a $.
Esto lo escribimos como     $$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=L $$

Distintas situaciones pueden presentarse con límites laterales en un punto: pueden existir y ser diferentes, ser iguales, no existir por un lado, o por los dos lados. Es claro que si los límites laterales son diferentes entonces el límite bilateral (ordinario) no existe, pues la función para tener límite debería tender a un solo número cuando $x$ se acerca al punto considerado.



   

Una función que tiene límite por la derecha en un punto y no tiene límite por la izquierda



   La función no está definida a la izquierda de 1



   

Propiedades de los límites laterales

Los límites laterales tienen los mismos tipos de propiedades que los límites bilaterales (límites ordinarios). Esto es, por ejemplo, si $$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \text{ y } \lim_{x\rightarrow a^+} g(x) \text{ existen }$$ entonces

$ \lim_{x\rightarrow a^+} \left ( f(x) + g(x) \right ) \; $ $= \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) + \lim_{x\rightarrow a^+}g(x) $


Para calcular límites laterales procedemos de manera similar a cómo se determinan los límites bilaterales.

Ya vimos que $f(x)=\sqrt{x-1}+2$ no tiene límite lateral por la izquierda, pero si por la derecha. /br>


Calculamos el límite lateral derecho usando la leyes de los límites. Te justificamos cada paso.



Normalmente, no se procede con tanto detalle.


   
Ya mostramos ejemplos en que si los límites laterales son distintos entonces el límite bilateral no existe, este hecho está contenido en el siguiente teorema. Además el siguiente resultado permite concluir sobre la existencia del límite si los laterales son iguales

Teorema
Sean $a$ y $L$ dos números reales y $ f$ una función real definida en un intervalo abierto conteniendo a $a$, salvo posiblemente en $a$. Tenemos que:
$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) =L \ $ y $ \ \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) =L $ $ \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\rightarrow a} f(x) =L$

Recuerda que tanto en los límites laterales como en los ordinarios no importa que ocurre con el valor de la función en $a$. Puede estar definida y valer igual a los laterales o ser diferente o sencillamente no existir.


   
Ejemplo Sea $ g(x)=\left\{\begin{matrix} x+3 & \text{si }x<1 \\ 4& \text{si }x>1 \end{matrix}\right. $

Calcular $\lim_{x\rightarrow 1}g(x)$
Solución
Tenemos que
$\lim_{x\rightarrow 1^+}g(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}4 =4 $
y
$ \lim_{x\rightarrow 1^-}g(x)= \lim_{x\rightarrow 1^-}(x+3) =4 $
Entonces, por el teorema, como los límites laterales son iguales, el límite bilateral existe y $$ \lim_{x\rightarrow 1}g(x)=4$$

Ejemplo Sea $ h(x)=\left\{\begin{matrix}3, &\text{si }x<0 \\2, & \text{si } x=0\\ 4, &\text{si } x>0&\end{matrix}\right. $
Calcular $\lim_{x\rightarrow 0}h(x)$
Solución
Tenemos que $$ \lim_{x\rightarrow 0^+}h(x)=4\text{ y }\lim_{x\rightarrow 0^-}h(x)=3 $$ De aquí, por el teorema, como los límites laterales son distintos, $ \lim_{x\rightarrow 0}h(x)$ no existe.

   

Animación
Encontrar el límite de una función definida por partes

Al lado tenemos un ejemplo que muestra cómo establecer si un límite bilateral de una función definida por intervalos (por tramos o a trozos) existe o no en un punto a, y en caso que exista, conseguir su valor. Observe que el punto $a$ es el punto en donde la función cambia de fórmula. En otro punto no hace falta tomar límites laterales


Ejercicios Encontrar los límites propuestos
     



   

Animación
Conseguir los valores de la constante $k$ que hacen que el límite en un punto exista

Se tiene una función definida por tramos con una constante $k$ en una de la fórmulas que define la función. Se quiere determinar esta constante a fin que la función tenga límite en el punto $-3$, precisamente el punto donde la función cambia de fórmula.
Tenga presente que los límites laterales son números reales, el de la izquierda depende de la constante $k$.

¿Qué hay que hacer para encontrar la constante $k$?
Tomando en consideración que el límite existe si y sólo los latelares son iguales, se plantea la ecuación un límite lateral igual al otro, y se resuelve esta ecuación en $k$.

Además de este objetivo de encontrar el(los) valor(es) de la constante, se quiere mostrar que en los límites laterales pueden también surgir indeterminaciones que se resuelven de la misma manera que en los límites bilaterales.

Ejercicios Encontrar los valores de $k$ para los cuáles el límite indicado existe

     



   

Límites laterales en $a$, punto aislado en que $f$ no está definida

Los límites laterales también se aplican en funciones que no están definidas en un punto aislado, por ejemplo en los puntos donde una función racional no está definida, pudiéndose obtener o no límites infinitos.

Ejemplo
Límites infinitos en latelares $ \lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{x+1}{x-2}=+\infty\quad $ y $ \quad\lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{x+1}{x-2}=-\infty $


   

Los límites laterales también surgen en funciones con valor absoluto.


Ejemplo Sea $f(x)=\frac{x-1}{\left|x-1\right|}$.

Hallar $ \lim_{x\rightarrow1^+}f(x)$ y $ \lim_{x\rightarrow1^-}f(x)$.

Concluir si $ \lim_{x\rightarrow1}f(x)$ existe o no.

Solución
Si $ x\rightarrow 1^+$ entonces $x>1$, esto es
$x-1>0$. Por tanto $ \left|x-1\right|=x-1 $
Recuerde que el valor absoluto de una cantidad positiva es la cantidad. El valor absoluto la deja igual.

Así tenemos que $$ \lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x-1}{\left|x-1\right|}=\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x-1}{x-1}=1 $$

Por otro lado, si $ x\rightarrow 1^-$ entonces $x\lt 1$, esto es
$x-1\lt 0$. Por tanto $ \left|x-1\right|=-(x-1) $
Recuerde que el valor absoluto de una cantidad negativa es el opuesto de la cantidad. El valor absoluto le cambia el signo.

Así tenemos que $$ \lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x-1}{\left|x-1\right|}=\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x-1}{-(x-1)}=-1 $$
Como los límites laterales son distintos, $1\neq -1$, entonces $ \lim_{x\rightarrow1}f(x)$ no existe.