Operaciones con funciones




OPERACIONES CON FUNCIONES

Nuevas funciones surgen cuando sumamos, restamos o multiplicamos funciones conocidas.
Se da la definición de nuevas funciones obtenidas a través de las cuatros operaciones elementales, considerando el dominio.



Ejercicios para después del video
Sean $f(x)=\sqrt{x},\quad g(x)= x-4$   y   $h(x)= \frac{ 2}{3-x}$.
Encontrar, con sus dominios:
a) $f\cdot g; \quad $ b) $g+h; \quad $ c) $ \frac{f}{g}; \quad $
d) $\frac{g}{f}; \quad $ e) $ {f}\cdot {h}; \quad $ f) $\frac{g}{h}$

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Para calcular el dominio de cada una de las funciones combinadas hay primero que calcular el dominio de la funciones incolucradas
$ Dom(f) =[0,\infty)$;   $ Dom(g) =R$   y   $ Dom(g) =R-\{3\}$
Luego tomar la intersección de los dominios. En el caso del dominio de cocientes, a esta intersección hay que quitarles los $x$ donde el denominador se anula.

Respuestas
a) $(f+g)(x)=\sqrt{x} + x-4,\; Dom(f+g) =[0,\infty)$
b) $(g+h)(x)= x-4+ \frac{ 2}{3-x} ,\; Dom(g+h) =R-\{3\}$
c) $( \frac{ f}{g} )(x)= \frac{ \sqrt{x}}{ x-4 } ,\; Dom(\frac{ f}{g} ) = [0,4)\cup(4,\infty)$
d) $( \frac{ g}{f} )(x)= \frac{ x-4}{\sqrt{x} } ,\; Dom(\frac{ g}{f} ) = (0,\infty)$
e) $( { f}\cdot {h} )(x)= \frac{ 2\sqrt{x}}{3-x} ,\; Dom({ f}\cdot {h} ) = [0,3)\cup(3,\infty)$
f) $ ( \frac{ g}{h} )(x)= \frac{ (x-4)(3-x)}{2} ,\; Dom(\frac{ g}{h} ) = R-\{3\}$


El ejercicio f) es un ejemplo en que muestra que el dominio de la función no puede ser calculado a partir de la fórmula obtenida, sino a través del dominio dado en la definición.
La fórmula que define la función $\frac{g}{h}$ es $\frac{ (x-4)(3-x)}{2}$


¿Cuál es el dominio de la función $F(x)=\frac{ (x-4)(3-x)}{2}$?
¿Cuál es el dominio de la función $\frac{g}{h}$?      
$Dom(F)=R$
$Dom(\frac{g}{h})=R-\{3\}$

Compara los dominios de las dos funciones.

Recuerda
$\frac{g}{h}$ denota la función cociente de $g$ entre $h$, definida por $$ (\frac{g}{h})(x)= \frac{g(x)}{h(x)} $$ y con dominio $$Dom\ (\frac{g}{h}) =\left ( Dom\ (g ) \cap Dom\ (h) \right )- \{x / h(x)=0 \}$$ A la intersección de los dominios hay que quitar los $x$ donde el denominador se hace 0.






DOMINIO DE FUNCIONES MÁS COMPLICADAS

En el video anterior se definieron nuevas funciones a partir de funciones conocidas y se discutió la definición del dominio de las nuevas funciones, más complicadas. Esta discusión servirá para analizar como determinar el dominio de funciones más complicadas a las ya vistas. En el video se presenta este enfoque para determinar el dominio de funcionesque pueden ser interpretadas como suma, diferencia, producto o cociente de expresiones.

Ejercicio para después del video.- Resolver el ejercicio planteado en el video.
Encontrar el dominio de las funciones dadas.
a) $ f(x)=\frac{x-1}{x-2};$  
b) $g(x)=x\sqrt{1-x}; $
c) $ h(x)= \frac{x}{x^2-4}+x^2-9; $  
d) $ F(x)= \frac{\sqrt{1-x} }{x^3-x}; $
e) $ H(x)= x+\sqrt{x-2}; $
f) $ g(x)= \frac{1}{x}- \frac{2}{x-3} $
Respuestas
$ a) R-\{2\}; $     $b) (-\infty,1]; $ $c) R-\{-2,2\}; \; $   $d) (-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,1); $ $e) [2,\infty); $    $f) R-\{0,3\} $




FUNCIÓN COMPUESTA

Dada dos funciones podíamos obtener nuevas funciones combinándolas con las operaciones las básicas de suma, diferencia, producto y cociente. También podremos obtener nuevas funciones realizando la composición de funciones.

En el video se presenta la definición de la función compuesta y se desarrollan varios ejemplos en que se determinan funciones compuestas, dando recomendaciones de trabajo.

Ejercicios para después del video
Sean $\;f (x)=x^4+x^2+5,\; g(x)=\sqrt{x-2} \;$ y $\;h (x)=\frac{2}{x-4}$
Determine las siguientes funciones, específique el dominio:

a) $f \circ g, \quad $ b) $ f \circ h \quad $
Respuestas
a) $ (f \circ g)(x)=(x-2)^2+x+3, \; $ $ Dom\; f \circ g=[2,\infty)$
b) $(f \circ h )(x)= \left ( \frac{2}{x-4} \right )^4+ \left ( \frac{2}{x-4} \right )^2+5 ,$
$ Dom\; f \circ h=R-\{4\} $




EJEMPLO DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Se encuentra las composiciones entre dos funciones, mostrando que en general el operador composición no es conmutativo

Ejercicios para después del video
Sean $\;f (x)=2/x\quad$ y $\;g (x)=3-4x$.
Determine las siguientes funciones, específique el dominio:

a) $f\circ g, \quad $ b) $ g \circ f, \quad $ c) $ f \circ f $
Respuestas
a) $ (f\circ g)(x)=\frac{2}{3-4x}, \; $ $Dom\; f \circ g=R-\{ \frac{3}{4} \} $
b) $ (g\circ f)(x)=3-\frac{4}{x}, \; $ $Dom\; g \circ f=R-\{ 0 \} $
c) $ (f\circ f)(x)=x, \; $ $Dom\; f \circ f=R-\{ 0 \} $




DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUNCIÓN

Muchas veces se quiere expresar una función como la composición de dos funciones. En el video se muestra, con dos ejemplos, cómo efectuar este proceso, aprendiendo a visualizar las funciones que la componen.



Ejercicio para después del video

Exprese cada una de las siguientes funciones como la composición de dos funciones
a) $\;h (x)=\sqrt{ \frac{2}{x}};\quad$ b) $ H(x)=\left ( 2x+1 \right )^4 \quad $
Respuestas
a)
Si $\;f \circ g =h$, una respuesta natural es tomar $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=\frac {2}{x};\quad$
b) Si $\;f\circ g =H$, una respuesta natural es tomar $f(x)=x^4$ y $g(x)=2x+1$