PROPIEDADES DE LOS  LOGARITMOS

Entre las principales propiedades de los logaritmos están el logaritmo de un producto, de un cociente y una potencia. No existe propiedad para el logaritmo de una suma o de una resta.

Las propiedades de los logaritmos son muy útiles: para resolver ecuaciones con logaritmos, para determinar valores de logaritmos, para abreviar cálculos como los de las derivadas, entre otras aplicaciones. Enunciaremos las principales propiedades, sus demostraciones están basadas en las reglas de los exponentes.

Contenido
1 Propiedades. Demostraciones 2 Verdadero o Falso. Errores frecuentes 3 $b^{log_bx}$ 4 Logaritmo de una raíz 5 Escribir como una suma de logaritmos sencillos 6 Escribir como un solo logaritmo


Video 1
Propiedades de los logaritmos

En el video se establecen las principales propiedades de los logaritmos, dando algunos esquemas de demostraciones. En pantalla están enunciadas las principales propiedades de los logaritmos que las podemos decir en palabras:
1)  El logaritmo de 1 en cualquier base es 0.
2)  El logaritmo de la base es 1.
3)  La exponenciación deshace lo que el logaritmo le hace al número.
4)  El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
5) El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos.
6) En el logaritmo de una potencia, el exponente pasa a multiplicar el logaritmo.

Ejercicios para después del video
Exprese en términos de los logaritmos de $x$ y $y$
a) $\log(xy)$ b) $\log(x/y)$ c) $\log(x^{4\sqrt{2}})$
a) $\log(x)+\log(y)$
b) $\log(x)-\log(y)$
c) $4\sqrt{2}\log(x) $





   


VERDADERO O FALSO
Las siguientes proposiciones pueden ayudar a detectar errores frecuentes en los estudiante.

Diga cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles falsas.
Justifique.

a) $\log(15)-\log(3)= \log(12)$
   


b) $\log(5)+\log(2)=1$
   


c) $(\log(5))^3=3\cdot \log(5)$
   


d) $\frac {\log(5)}{\log(2)}= \log(5)-\log(2)$
   


e) $\frac {\log(x^6)}{\log(x^2)}=3,\quad x\ne 0$
   




   



Otra propiedad que se deduce del hecho que la función $y=\log_b(x)$ es la inversa de la función exponencial, $y=b^x$ es
$$b^{\log_b(x)}=x$$
Como la base de los logaritmos naturales o neperianos es el número $e$, la propiedad en este caso es $$e^{\ln(x)}=x$$ Si pensamos que $\log$ transforma a $x$, podemos recordar la propiedad diciendo que

La exponencial deshace
lo que el logaritmo le hizo a $x$

Son variadas las aplicaciones de esta propiedad. Mostramos un ejemplo importante en el Cálculo.

Ejercicio Exprese la función $y=2^{3t}$ como una función de la forma $y=e^{kt}$
Por la propiedad, considerando $2^{3t}$ como $x$ de la última igualdad, se tiene $$ x=e^{\ln(x)}$$ $$2^{3t}= e^{\ln( 2^{3t})}$$ Ahora aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia $$= e^{{3t}\ln( 2)}$$ Finalmente, reordenamos los factores, obtenemos que $$ y = e^{3\ln( 2)t}$$ Así, $y$ queda escrita en la forma pedida con $k=3\ln( 2)$




   

Logaritmo de una raíz

Si se tiene el logaritmo de una raíz y se quiere eliminar la raíz se reescribe la raíz usando la definición de exponente racional y luego se aplica la propiedad de la regla del logaritmo de una potencia



Ejercicio Escriba en términos de logaritmo de 5.

a) $\log(\sqrt[3]{5^2})$;   b) $\log(\sqrt{5})$
a) $\frac{2}{3}\log({5})$;   b) $\frac{1}{2}\log({5})$




   



Video 2
Expresar un logaritmo como una suma de logaritmos sencillos

Se desarrolla un ejemplo donde se aplican las propiedades de los logaritmos. En este tipo de ejercicio se pide escribir el logaritmo en términos de logaritmos más sencillos. Cuando se tiene un argumento que es un producto, cociente o potencia entonces podremos usar las leyes, de manera reiterada, para desarrollar el logaritmo y reescribirlo como una suma de términos de logaritmos con argumentos más simples en que ya no es posible aplicar ninguna ley de logaritmos. . Se indica cómo tratar logaritmos de raíces, reescribiendo el radical en la notación de exponente racional y entonces usar la propiedad del logaritmo de una potencia.


Exprese en términos de $\ln(x)$, $\ln(x-3)$ y $\ln(x+1)$ cada una de las siguientes expresiones
2.1)   $\log(\frac{x+1}{(x-3)^2})$
2.2)   $\log(\frac{x+1}{x^2\sqrt{x-3}})$

Pulse el botón para ver la respuesta a

Respuestas
2.1)   $\log(x+1)-2\log(x-3)$
2.2)   $\log(x+1)-2\log(x)-\frac{1}{2}\log(x-3)$




   


Escribir con un solo logaritmo


En el ejercicio anterior expandimos el logaritmo, expresádolo como una suma de términos con logaritmos más sencillos. También interesa el proceso contrario: escribir una suma de términos con logaritmos como un solo logaritmo. Para reducir a un solo logaritmo iremos aplicando propiedades algebraicas y de logaritmos. De acuerdo a la expresión muchos de los pasos propuestos no se aplican a la expresión dada


Ejercicios resuelto paso a paso
Exprese como un solo logaritmo
${\small{3\log(x)+2\log(x+1)-\log(x+3)-4\log(x-2) }}$

Pulse el botón para ver el desarrollo del paso


Aplicar la propiedad para convertir los términos con coeficientes distintos de 1 o $-1$ en el logaritmo de una potencia
Hay tres términos con coeficientes distintos de 1 o $-1$.
${\small{=\log(x^3)+\log(x+1)^2-\log(x+3)-\log(x-2)^4 }} $


Agrupar los términos negativos, sacando factor común

${\small{ =\log(x^3)+\log(x+1)^2- \left (\log(x+3)+\log(x-2)^4 \right ) }}$

Convertir las sumas de logaritmos en logaritmo de un producto.
Hay dos bloque con sumas de logaritmos.
$=\log \left (x^3(x+1)^2\right )- \log \left ( (x+3)(x-2)^4 \right ) $

Por la propiedad del logaritmo de un cociente, aplicada de derecha a izquierda obtenemos nuestro obtenivo
$ =\log \left ( \frac{x^3(x+1)^2}{(x+3)(x-2)^4} \right ) $
Ya la expresión está escrita con un solo logaritmo.
Convertir la diferencia de logaritmos en el logaritmo de un cociente.


Ejercicio con respuesta
Reducir como un solo logaritmo
1) $ {\small{\mathrm{log}\left( x-3\right) +2\,\mathrm{log}\left( 2-x\right) -4\,\mathrm{log}\left( x+3\right) -\mathrm{log}\left( x\right) }}$
2) $ \mathrm{log}\left( x-3\right) -\mathrm{log}\left( x+3\right) -\mathrm{log}\left( x\right)$
3) $ \frac{1}{2}\mathrm{log}\left( a\right) +2\mathrm{log}\left( b\right) -\frac{3}{2}\mathrm{log}\left( c\right) $
Respuestas
1) $ \mathrm{log}\left( \frac{\left( x-3\right) \,{\left( x-2\right) }^{2}}{x\,{\left( x+3\right) }^{4}}\right) $
2)$ \mathrm{log}\left( \frac{x-3}{x\,\left( x+3\right) }\right) $
3) $ \mathrm{log}\left( \frac{\sqrt{a}b^2}{\sqrt{c^3}}\right) $