Ecuaciones logarítmicas

Una estrategia para resolver determinadas ecuaciones con logaritmos es llevarlas a la forma logarítmica o la forma un logaritmo igual a otro de la misma base, para eso se considera usar propiedades de los logaritmos entre otros pasos. Luego, si está en la forma logarítmica se puede resolver pasándola a la forma exponencial. Si está en la forma un logaritmo igual a otro, se usa el hecho que la función logarítmica es biunívoca, (uno a uno), para igualar los argumentos, resolviendo la ecuación resultante.

Contenido
1 Método básicos para resolver ecuaciones logarítmicas 2 Verificar soluciones 4 Video 3 Errores frecuentes 5 Usar propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones 6 Ecuaciones que se resuelven factorizando

Métodos para resolver ecuaciones logarítmicas

Podemos resolver ecuaciones logarítmicas usando distintos procedimientos. Te presentamos dos métodos que se aplican cuando la ecuación tiene una forma particular

Método de la función inversa

Aplicable a la forma:
Un logaritmo igual a una constante

La ecuación tiene la forma logarítmica, se lleva entonces a la forma exponencial, $$\log_b\left( f(x) \right) = K \; \text{ si y sólo si } \; b^k=f(x)$$ Luego se resuelve la ecuación resultante. Las soluciones de la última ecuación son las soluciones de la logarítmica.

Ejemplo
Resolver la ecuación $$\log_2(x+5)=3$$ Solución La ecuación está en la forma logarítmica: un logaritmo en el lado izquierdo, una constante en el derecho.

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Llevarla a la forma exponencial.

$$\log_2(x+5)=3$$ La base es 2, el exponente es 3. $$2^3=x+5$$

Resolver la ecuación resultante del paso anterior

Es una ecuación lineal, se despeja la variable. $$x=2^3-5$$ $$x=3$$

Método de la función biunívoca

Aplicable a la forma:
Un logaritmo igual a otro con la misma base

Se basa en que la función logarítmica es biunívoca o uno a uno, entonces se igualan los argumentos de los logaritmos, $$\log_b\left( f(x) \right) = \log_b\left( g(x) \right) \Rightarrow g(x)=f(x)$$ Luego, se resuelve la ecuación resultante. Se debe descartar las soluciones que hacen algún argumento de la ecuación original no positivo.

No hace falta comprobar cada solución verificando la igualdad, sólo se eliminan aquellas soluciones en que algún argumento sea negativo o cero.

Ejemplo Resolver la ecuación $$\log(x^2-2)=\log(23)$$ Solución La ecuación es de la forma un logaritmo igual a otro logaritmo, con la misma base.

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Igualar los argumentos

$$x^2-2=23$$

Resolver la ecuación resultante en el paso anterior

Es una ecuación cuadrática, sin término lineal. Despejamos la potencia $$x^2=25$$ Recordamos la solución al tomar raíz a ambos lados, sabemos que la raíz negativa también es solución. $$x=\pm\sqrt{25}$$ $$x=\pm 5$$

Eliminar las soluciones que hagan no positivo algún argumento.
Concluir

El argumento del logaritmo del miembro derecho, 27, es claramente positivo para cualquier valor de $x$.
El argumento del logaritmo del miembro izquierdo:
$x^2-2$ es positivo en $x=5$: $5^2-2=23>0$.
$x^2-2$ es positivo en $x=-5$: $(-5)^2-2=23>0$.

En conclusión:
Conjunto solución $=\{-5,5\}$

Hay que descartar la soluciones que hagan algún argumento del logaritmo no positivo

A continuación un ejemplo interesante que muestra que las soluciones deben ser evaluadas en cada argumento. En cada una de las cuatro ecuaciones, cuando se igualan los argumentos, se consiguen ecuaciones cuadráticas, con la misma forma general. Por tanto, todas las ecuaciones cuadráticas tienen las mismas soluciones. Sin embargo, en las ecuaciones logarítmicas se presentan distintos conjuntos solución.

Ejemplo Resolver cada una de las ecuaciones dadas
$\text{1) } \mathrm{log}\left( x^2\right) =\mathrm{log}\left( 3x+4\right) \\ \\ \text{2) }\mathrm{log}\left( x^2-4\right) =\mathrm{log}\left( 3x\right) \\ \\ \text{3) }\mathrm{log}\left( 5- x^2\right) =\mathrm{log}\left( 1-3x\right) \\ \\ \text{4) }\mathrm{log}\left( x^2-2x-10\right) =\mathrm{log}\left( x-6\right) $
Solución Todas las ecuaciones ya están en la forma
un logaritmo igual a otro logaritmo
Seguimos los siguientes pasos.

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Igualar los argumentos

En la ecuación 1) queda $x^2=3x+4$
En la ecuación 2) queda $x^2-4=3x$
En la ecuación 3) queda $5-x^2=1-3x$
En la ecuación 4) queda $x^2-2x-10=x-6$

Resolver las ecuaciones

Todas las ecuaciones son cuadráticas, con la misma forma general $$x^2-3x-4=0$$ Por la fórmula cuadrática o cualquier otro método se verifica que las soluciones son $\{4,-1\}$

Evaluar en cada argumento y descartar las soluciones que hagan que algún argumento sea no positivo.

Para cada ecuación debemos evaluar las soluciones en los dos argumentos de la ecuación y eliminar aquelllas soluciones que hagan que algún argumento sea negativo o 0 pues logaritmos de números negativos no están definidos.

En la ecuación 1) el conjunto solución es $\{-1,4\}$
Todos los argumentos son positivos en estos valores

En la ecuación 2) el conjunto solución es $\{4\}$
El argumento $x^2-4$ se hace negativo en $x=-1$

En la ecuación 3) el conjunto solución es $\{-1\}$
El argumento $5-x^2$ se hace negativo en $x=4$

En la ecuación 4) el conjunto solución es vacio
El argumento $x-6$ se hace negativo en $x=4$
El argumento $x-6$ se hace negativo en $x=-1$

Video 1

Se explican los dos métodos para resolver ecuaciones logarítmicas.

Verdadero o falso

Ejercicios
VERDADERO O FALSO
Diga cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles falsas.
Justifique.

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1) $\ln(2)=\log(x-1) \Rightarrow 2=x-1$

X Incorrecto
La proposición es falsa. Los logaritmos son de distintas bases, tienen que tener las mismas base para igualar los argumentos.
Ya está en la forma logarítmica, para resolverla la pasamos a la forma exponencial $10^{\ln2}=x-1$, se obtiene $x=10^{\ln 2}+1\ne 3$

v Correcto
La proposición es falsa. Los logaritmos son de distintas bases, uno es natural y otro es un logaritmo decimal o común. Tienen que tener las mismas bases para poder aplicar la propiedad.

2) $x=0$ es una solución de la ecuación $\ln(x^2)=\ln(x^2+x)$

X Incorrecto
La proposición es falsa. Logaritmo de 0 no está definido, así que $x=0$ debe ser eliminada.

v Correcto
La proposición es falsa. La solución obtenida de la ecuación cuadrática debe ser eliminada pues logaritmo de 0 no está definido.

3) $\left(\log(x)\right)^2=3 \; \Rightarrow \; 10^3=x^2$

X Incorrecto
La proposición es falsa.
Primero hay que despejar el logaritmo. $$\log(x)=\pm\sqrt{3 }$$ Se plantean dos ecuaciones, que se pasan a la exponencial $$10^{+ \sqrt{3 } }=x \; \text{ y } \; 10^{- \sqrt{3 } }=x$$ Obteniendo soluciones distintas a las de la ecuación $10^3=x^2$

v Correcto
La proposición es falsa.
Primero hay que despejar el logaritmo.

Usando las propiedades de los logaritmos para llevar la ecuación a una de las formas dadas

Si una ecuación no tiene alguna de las formas dadas, entonces se puede intentar llevarlas a una de estas formas usando las propiedades de los logaritmos.

Ejemplo
Resolver la ecuación $$\log(x+1)+\log(x+2)=2\log(x-1)$$ Solución Vamos a llevarla a la forma $\log(f(x))=\log(g(x))$ y de allí aplicamos las recomendaciones.

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Llevarla a la forma propuesta.

Aplicar las propiedades de los logaritmos para llevarla a la forma $\log(f(x))=\log(g(x))$ En el lado izquierdo se tiene una suma de logaritmos, se aplica la propiedad del logaritmo de un producto.
El lado derecho no es un logaritmo, 2 está multiplicando el logaritmo. Si aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia, $2 \log( )=\log( )^2$, tendremos un logaritmo.
Así $$ \log\left ( (x+1) (x+2) \right)=\log\left ( x-1 \right)^2$$ Ahora aplicar las recomendaciones para este tipo de ecuación

Igualar los argumentos

$$(x+1)(x+2)=(x-1)^2$$

Resolver la ecuación

Es una ecuación de apariencia cuadrática, desarrollamos los productos $$x^2+3x+2=x^2-2x+1$$ La ecuación se reduce a una lineal, pues los términos cuadráticos se simplifican $$3x+2=-2x+1$$ Para resolver, despejamos la variable $$5x=-1$$ $$x=-\frac{1}{5}$$

Evaluar en cada argumento y descartar las soluciones que hagan que algún argumento sea no positivo.
Concluir cuál es el conjunto solución de la ecuación propuesta.

Evaluamos $x=-\frac{1}{5}$ en cada argumento. Nos damos cuenta que el argumento del logaritmo del lado derecho, $x-1$, es negativo en la solución encontrada
$-\frac{1}{5}-1=-\frac{6}{5}<0$
Se descarta esta solución pues logaritmos de números negativos no están definidos.

Por tanto, la ecuación logarítmica planteada no tiene solución

Ejemplo
Resolver la ecuación $$2\log(x-1)-\log(x-3)-1=0$$ Solución Vamos a llevarla a la forma $\log(f(x))=$constante y de allí aplicamos las recomendaciones.

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Aplicar las propiedades para llevarla a una de las dos formas

Como hay un término constante, $1$, es más sencillo llevarlo a la forma un logaritmo igual a constante.
Primero pasamos $1$ al miembro derecho. $$2\log(x-1)-\log(x-3)=1$$ Ahora, aplicar las propiedades de los logaritmos para llevarla a la forma $\log(f(x))=K$. En el lado izquierdo primero se debe aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia, $2 \log( )=\log( )^2$.
$$\log(x-1)^2-\log(x-3)=1$$ Como tenemos una diferencia de logaritmos, aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente, de derecha a izquierda $$\log\left( \frac{(x-1)^2}{x-3}\right)=1$$ Ya está en la forma un logaritmo igual a contante.

Llevarla a la forma exponencial

$$\log\left( \frac{(x-1)^2}{x-3}\right)=1$$ La base es $10$, el exponente $1$ $$10^1=\frac{(x-1)^2}{x-3}$$

Resolver la ecuación

Ecuación racional, multiplicamos ambos miembros por el denominador $$10^1(x-3)=(x-1)^2$$ Quedó una ecuación cuadrática, la llevamos a la forma general y luego aplicamos la fórmula cuadrática. $$10x-30=x^2-2x+1$$ $$x^2-12x+31=0$$ $$x=\frac{12\pm\sqrt{12^2-4\cdot 31}}{2}$$ $$x=\frac{12\pm \sqrt{20}}{2}$$ $$x_1=6+\sqrt{5}\;\; x_2=6-\sqrt{5}$$

Evaluar en cada argumento y descartar las soluciones que hagan que algún argumento sea no positivo.
Concluir, remarcando el conjunto solución de la ecuación

Evaluamos $ x_2=6-\sqrt{5}$ en cada argumento, $x \approx 3,76$. Claramente, cada argumento, $(x-1)$ y $(x-3)$, es positivo en esta solución. También en $ x_1=6+\sqrt{5}$ los argumentos son positivos.

Por tanto, el conjunto solución $=\{ 6-\sqrt{5}, 6+\sqrt{5} \}$

Suponga que una ecuación se aplicaron propiedades de los logaritmos para llevarla a la forma $\log (f(x))=K$. Entonces hay que verificar que las soluciones de esta última ecuación hagan todos los argumentos positivos.

Ejemplo Resolver la ecuación $$\log(x-1)+\log(x+1)=0$$
Solución Aplicamos las propiedades para reducir a un solo logaritmo $$\log((x-1)(x+1))=0$$ Pasamos a la forma exponencial $$10^0=(x-1)(x+1)$$ Resolver la ecuación resultante, es cuadrática $$1=x^2-1$$ $$x^2=2$$ $$x=\pm\sqrt{2}$$ $-\sqrt{2}$ es solución de la ecuación $\log((x-1)(x+1))=0$ pero no de la ecuación propuesta, pues ambos argumentos toman valores negativos.
En conclusión, la ecuación tiene una sola solución: $\sqrt{2}$

Ejercicios
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones, emplee el procedimiento que considere más apropiado.
$ 1.1)\ \log(x+3)=2\log(x-3); \\ 1.2) \ 2\ln(x-3)-\ln(x+1)=\ln(x-6) \\ 1.3)\ \log(x)+\log(2x-1)=2\log(x-2); \\ 1.4) \ \log(x+1)= \log(x)+1; $

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Respuestas
$ 1.1) \ x=6. $ ( $x=1$ es una solución extraña)
$1.2) \ 15 $
$1.3) $ No tiene soluciones.
$ x=1$ y $ x= -4$ son soluciones extrañas a la original
$1.4) \ x=\frac{1}{9} $

Usando factorización para resolver algunos tipos de ecuación con logaritmos

En algunas ecuaciones en que el logaritmo no aparece de manera lineal puede resultar resolverla al llevarla a la forma Un producto igual a cero
Entonces se plantea y se resuelve las ecuaciones factores iguales a cero.

Para factorizar el lado que no es cero se considera los distintos métodos: factor común, producto notable, Ruffini.

Muchas ecuaciones se pueden resolver al tener argumentos iguales. Si no los tienen, considere aplicar propiedades de los logaritmos.

Ejemplo Resolver $ \ \log(x^4)= \left (\log(x) \right )^2 $
Solución
Aplicar las leyes de los logaritmos para tener los mismos argumentos.

Paso 1 En el miembro izquierdo se aplica la propiedad del logaritmo de una potencia, la ecuación queda
$ 4\log(x)= \left (\log(x) \right )^2 $
Cada argumento es igual a $x$.

Llevarlo a la forma un producto igual a cero

Paso 2 El miembro izquierdo pasa restando. Se escribe la ecuación de derecha a izquierda
$ \left ( \log(x) \right )^2-4\log(x) =0 $
Se factoriza el miembro izquierdo, sacando $\log(x)$ de factor común
$ \log(x) \cdot \left ( \log(x) -4 \right )=0$

Plantear las ecuaciones factores iguales a cero y resolverlas

Paso 3 Un producto es cero si un factor es cero o el otro es cero.
$ \log(x) =0$ o bien $ \log(x) -4 =0$
La solución de la primera ecuación es $x=1$.
Para encontrar la solución de la segunda, despejamos el logaritmo
$ \log(x) =4$
Lo llevamos a la forma exponencial: $10^4=x$. Se tiene que la solución de la segunda ecuación es $x=10.000$.

Eliminar las soluciones que hagan no positivo algún argumento. Concluir

Paso 4 Eliminar las soluciones que hagan no positivo algún argumento. Concluir
Ni en $x=1$, ni en $x=10.000$ los argumentos toman valores no positivos.

En conclusión,
Conjunto Solución= { 1, 10.000}

Ejercicios para practicar Resolver
a)$ \ { \left( \mathrm{log} (x+1)\right) }^{2}-3\,\mathrm{log}\left( x+1\right) +2=0$
b) $ \ \sqrt{\mathrm{log}(x-1)}=\mathrm{log}(\sqrt{x-1})$

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Respuestas
a) $\{ 99, 9\} $
b) $ \{10^4+1,2 \}$