¿Cuándo un límite no existe?
Una y varias variables

¿Cómo determinar si un límite existe? Hay infinidad de situaciones que se pueden presentar. Pretendemos mostrar algunos ejemplos de límites que no existen y caracterizar cada situación.
Esto ayudará a intuir si una función no tiene límite en un punto y cómo proceder para demostrar que no lo tiene.

Veamos a que nos referimos cuando decimos que un límite existe.

Cuando una función tiene límite L, un número real, en un punto $c$, decimos que el límite existe.

Intuitivamente, $\lim_{x\rightarrow c} f(x)$ existe si hay un único número real L, tal que la función se acerca a L, tanto como se quiera, para valores $x$ suficientemente cercanos a $c$.

Del hecho que la función debe tender a un número real, L, se desprende algunas condiciones que se deben cumplir para que un límite exista.

1 El límite es único. Así pues, por ejemplo, la función no puede tender a dos números distintos cuando se acerca a c.
2 La función debe tender a un número finito cuando $x$ tiende a $c$.
Infinito no es un número real. Sin embargo, se hace un abuso de notación y se escribe $$ \lim_{x\rightarrow c} f(x)=\infty $$ y se habla que el límite es infinito.

En determinados límites se establece su existencia o no usando límites laterales, basados en el siguiente

Teorema
$ \lim_{x\rightarrow c^+} f(x) =L \ $ y $ \ \lim_{x\rightarrow c^-} f(x) =L $ $\quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\rightarrow c} f(x) =L$

¿Cómo usar el Teorema?
Se calculan los límites laterales .
Si los dos límites laterales en $c$ existen y son iguales entonces se concluye que el límite (ordinario) existe y vale igual.
Si los límites laterales son distintos, o alguno no existe entonces el límite (ordinario) no existe.

Este criterio se usa cuando se sospecha que la función da un salto en $c$.

Ejemplos
Funciones definidas por partes. Si tenemos una función definida por partes, (funciones a trozos, tramos, ) puede ser que la función no tenga límite en los puntos donde la función cambia de fórmula, muchas veces debido a que la función tiene límites laterales distintos.
Por ejemplo, la función $g$ no tiene límite en 2, pues sus límites laterales son distintos. $$ g(x)=\left\{\begin{matrix} x+3 & \text{si }x\lt 2 \\ x+1& \text{si }x\geq 2 \end{matrix}\right. $$

Como hay cambio de fórmula en 2, usamos el Teorema de límites laterales
.
Veamos el límite cuando $x$ se acerca a 2 por la derecha. Como $x$ está a la derecha de 2, entonces $x$ > 2. Por tanto, al tomar límite por la derecha se tiene $f(x)=x+1$ .
De aquí $$ \lim_{x\rightarrow 2^+} f(x)= \lim_{x\rightarrow 2^+} (x+1)=2+1=3 $$ Por un razonamiento análogo, en el límite por la izquierda se tiene que $f(x)=x+3$.
Así $$ \lim_{x\rightarrow 2^-} f(x)= \lim_{x\rightarrow 2^-} (x+3)=2+3=5 $$ Concluimos, como los límites laterales son distintos entonces $$ \lim_{x\rightarrow 2} f(x ) \ \text{ no existe} $$

La función $f$ si tiene límite en 3, aún cuando la función no está definida en este punto. $$ f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-9}{x-3} & \text{si }x\lt 3 \\ 2x & \text{si }x>3 \end{matrix}\right. $$

Recuerda que en la definición de límite no importa lo que ocurra en el propio punto $c$. Puede o no estar la función definida en $c$, esto no influye en que un límite exista, ni en su valor en caso que exista.
Como hay cambio de fórmula en 3, es candidato a que el límite no exista en ese punto. Para ver si existe o no, de nuevo se usa el Teorema.
Primero calcularemos los límites laterales, si llegan a ser iguales, concluimos que el límite planteado (el ordinario, llamado también el bilateral) existe. (Si son distintos, o uno o los dos no existe entonces el límite no existe).
Veamos primero el límite por la derecha, aquí tenemos que $x$ > 3. Por tanto, al tomar límite por la derecha se tiene $f(x)=2x$.
De aquí $$ \lim_{x\rightarrow 3^+} f(x)= \lim_{x\rightarrow 3^+} (2x)=2\cdot 3=6 $$ En el límite por la izquierda, $x$ se acerca a 3 por la izquierda, así que $x$ < 3. Aquí $f(x)= \frac{x^2-9}{x-3} $ .
Queda $$ \lim_{x\rightarrow 3^-} f(x)= \lim_{x\rightarrow 3^-} \cfrac{x^2-9}{x-3} $$ Al sustituir, vemos que tenemos un límite indeterminado del tipo 0/0. Resolvemos la indeterminación de la misma manera como si fuera un límite ordinario. Como estamos en el caso de polinomio/polinomio, factorizamos numerador y denominador, para luego, cancelar los factores comunes entre ellos $$ = \lim_{x\rightarrow 3^-} \cfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} \\ \\ =\lim_{x\rightarrow 3^-} (x+3) \qquad \qquad \\ \\ =6 \qquad \qquad \qquad \qquad $$ Concluimos, como los límites laterales son iguales, entonces el límite bilateral existe y vale el de los laterales $$ \lim_{x\rightarrow 3} f(x ) =6 $$

Como la función valor absoluto se puede describir como una función por partes, también, en funciones con un valor absoluto donde la variable está dentro de las barras puede no tener límite en los ceros de la expresión dentro de los valores absolutos. Claro, puede haber otros puntos donde la función no tenga límite.
La función dada no tiene límite en 2 $$ h(x)= \frac{|x-2|}{x-2}$$ Observe que se presenta una indeterminación del tipo 0/0 en 2.

$|x-2|$ se puede escribir como $$|x-2|=\left\{\begin{matrix} –(x-2) & \text{si }x-2<0 \\ x-2& \text{si }x-2\geq 0 \end{matrix}\right.$$ Esto es $$|x-2|=\left\{\begin{matrix} –(x-2) & \text{si }x\lt 2 \\ x-2& \text{si }x\geq 2 \end{matrix}\right.$$ Ya podemos calcular los límites laterales, pero preferimos escribir la función $h$ como una función definida por partes, observe que la función no está definida en 2. $$\frac{ |x-2|}{x-2}=\left\{\begin{matrix} \frac{ –(x-2)}{x-2} & \text{si }x\lt 2 \\ \frac{ (x-2)}{x-2}& \text{si }x > 2 \end{matrix}\right.$$ Simplificando vemos que $$ h(x)=\left\{\begin{matrix} –1 & \text{si }x<2 \\ 1 & \text{si }x > 2 \end{matrix}\right.$$ Esta forma de escribir $h$ justifica por qué es llamada la función signo de $(x-2)$.
Ahora es claro que $$ \lim_{x\rightarrow 2^-} h(x)= -1$$ y $$ \lim_{x\rightarrow 2^+} h(x)= +1$$ De aquí, $$ \lim_{x\rightarrow 2} h(x ) \ \text{ no existe} $$ Pues los laterales son distintos.

Continuidad implica existencia del límite
Podemos concluir rápidamente que un límite existe viendo que la función es continua, pues si una función es continua en un punto entonces necesariamente el límite existe en el punto. Para ver que una función es continua podemos usar los teoremas sobre funciones continuas.

Ejemplo Debido a que la función valor absoluto es continua y composición de continuas es continua, podemos ver que la función $f$ tiene límite en 2, donde $$ f(x)=|x^2-4|$$

Es más, es continua en R. Observe que $x^2-4$ es un polinomio y por tanto continua en R. También $|x|$ es continua en R.
La función $h(x)= \frac{|x-2|}{x-2}$ es un cociente de dos funciones continuas. Su dominio R-{2}. La función no es continua en 2, pues la función no está definida en este punto. Para otro valor, la función es continua pues cociente de continuas es continua si el denominador es distinto de 0. Así que la función $h$ tiene límite finito en cualquier otro punto distinto de 2.
Recuerda que si la función no es continua en un punto no podemos concluir que el límite no existe en ese punto. Observe la función $f$ del ejemplo de arriba.

La función parte entera, $f(x)=[x]$, puede ser vista como una función definida a trozos. Podemos ver que la función parte entera no tiene límite en los enteros, pues los límites laterales son distintos.

La función parte entera se define como $g(x)=n$ si $n \leq x \lt n+1$, para $n$ entero. Decimos que es el mayor entero menor o igual a $x$.

Si $c$ no es entero, vemos que existe un intervalo abierto conteniendo a $c$ donde la función es constante y por tanto el límite existe si $c$ no es entero.
Si $c$ es entero, tenemos que
$g(x)=c-1$ para $x\in [c-1,c)$
y
$g(x)=c $ para $c\in[c,c+1)$
Tenemos entonces que para $c$ entero $$ \lim_{x\rightarrow c^-} [x]= c-1$$ y $$ \lim_{x\rightarrow c^+} [x]= c$$ Como los límites laterales son distintos cuando $c$ es entero entonces $$ \lim_{x\rightarrow c} [x] \text{ no existe}$$

Función con límite infinito Como la función $$f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$$ tiende a infinito cuando x tiende a 1, hablamos de límite infinito, escribimos $$ \lim_{x\rightarrow 1} f(x)=\infty $$ Pero reiteramos que el límite de la función en 1 no existe, pues la función no tiende a un número real, sino se hace arbitrariamente grande conforme $x$ se acerca más y más a 1.

Funciones con un denominador que se hace 0 en c $$ f(x)=e^ {1/x}$$ no tiene límite en 0, pues el límite por la derecha, cuando $x$ se acerca a 0 es infinito. Ya esto es suficiente para concluir que el límite bilateral no existe.
Observe que el límite por la izquierda es 0.

Hay funciones con comportamiento bastante irregular, donde la existencia o no del límite no se puede establecer mediante los laterales.

En vez de acercarse al punto por la izquierda o por la derecha, para demostrar que un límite no existe, se puede buscar sucesiones $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ tendiendo a $c$ y ver que los límites de la función en las sucesiones son distintos.

Criterio de las sucesiones para probar que un límite no existe
Si $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ son dos sucesiones tendiendo a $c$ cuando $n\to \infty$ tales que $$ \lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n )\ne \lim_{n\rightarrow \infty} f(y_n )$$ entonces $$ \lim_ { x\rightarrow c } f(x) \ \text { no existe}$$

Función que oscila alrededor de c.
Un ejemplo clásico de una función que oscila alrededor de 0 es $$f(x)=sen(\frac{1}{x })$$ Mostramos la gráfica abajo.

Esta función toma cualquier valor entre -1 y 1 en cualquier intervalo abierto que contenga a 0. Es más, cualquier valor lo asume un número infinito de veces. Decimos que la función oscila, porque va de arriba a abajo y se devuelve un número infinito de veces.
Este comportamiento oscilatorio hace que $$ \lim_{x\rightarrow 0} sen(\frac{1}{x}) \ \text{ no exista}$$

Una forma de demostrar que la función no tiene límite en 0, es exhibir dos sucesiones $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ que tiendan a 0 cuando $n\to \infty$ y tal que las sucesiones $\{f(x_n)\}$ y $\{f(y_n)\}$ tengan límites distintos.
Podemos tomar $x_n=\cfrac{1}{ \frac{\pi}{2}+2n\pi}$ .
Es claro que $$x_n\to 0 \text{ cuando } n\to \infty$$ y
$f(x_n)= sen \left (\cfrac{1} { \cfrac{1}{ \frac{\pi}{2}+2k\pi} } \right )$ $ =sen(\frac{\pi}{2}+2n\pi)=1$

Vemos entonces que $$ \lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n )=1$$ Ahora, resulta fácil proponer otra sucesión. Nosotros proponemos $y_n=\cfrac{1}{ \frac{3\pi}{2}+2n\pi}.$ Es claro que $$y_n\to 0 \text{ cuando } n\to \infty$$ y $$ \lim_{n\rightarrow \infty} f(y_n )=-1$$ Como las sucesiones $\{f(x_n)\}$ y $\{f(y_n)\}$ tienen límites distintos entonces . $$ \lim_{x\rightarrow 0} sen(\frac{1}{x}) \text{ no existe}$$

Función que no tiene límite en ningún punto de su dominio $$ f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & \text{si }x \text{ es racional } \\ -1 & \text{si }x\text{ es irracional } \end{matrix}\right. $$

El método de las sucesiones servirá para demostrar que la función no tiene límite en ningún punto. Para construir las sucesiones hay que tomar en cuenta si $c$ es racional o irracional.

$c$ racional
$x_n= c+\frac{1}{n }$ es claramente una sucesión de números racionales que tiende a $c$ cuando $n\to \infty$
Por tanto, $$\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n )=1$$ Ahora construir una sucesión irracional que tienda a $c$
$y_n= c+\frac{\sqrt{2} } {n }$ es irracional, pues la suma de un racional más un irracional es irracional. Vemos que la sucesión tiende a $c$ cuando $n\to \infty$.
Así tenemos $$\lim_{n\rightarrow \infty} f(y_n )=-1$$ Como hay dos sucesiones con límites en $f$ distintos concluimos que $$\lim_{x\rightarrow c} f(x )\text{ no existe para } c \text{ racional} $$
$c$ irracional
Ya está claro que es suficiente conseguir dos sucesiones que tienda a $c$, una de números racionales y otra de irracionales. Mostramos sólo las dos sucesiones
$x_n= \cfrac{[c\cdot 10^n]}{10^n}$ es claramente una sucesión de números racionales que tiende a $c$ cuando $n\to \infty$
La irracional $y_n=c+ \frac{1}{n}$ claramente tiende a $c$ cuando $n\to \infty$
Como $$\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n )=1$$ y $$\lim_{n\rightarrow \infty} f(y_n )=-1$$ Entonces $f$ no tiene límite en los $c$ irracionales.

Así que en funciones en que se tiene una fórmula en los racionales y otra en los irracionales, no existirá límite en los puntos $c$ en que $$\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n )\ne \lim_{n\rightarrow \infty} f(y_n )$$ con $ \{x_n\}$ y $ \{y_n\}$ sucesiones racionales e irracionales, respectivamente, tendiendo a $c$.
Si se alcanza la igualdad en algún $c$ se podrá sospechar de la existencia del límite.

Así, una función como $$ g(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \text{si }x \text{ es racional } \\ x & \text{si }x\text{ es irracional } \end{matrix}\right. $$ No tiene límite en todos los reales, salvo en 0. En cualquier $c\ne 0$ se tiene que
$f(x_n)\to 0$ para una sucesión $x_n\to c$ de números racionales.
$f(y_n)\to c$ para una sucesión $y_n\to c$ de números irracionales.
Así que el límite no existe para $c\ne0$

Observe que los valores de la función se acercan a 0 tanto en los racionales como en los irracionales. Intuitivamente, en 0 el límite si existe. Si quiere demostrar la existencia de un límite en este tipo de funciones, puede usar la definición. Para $\epsilon$, considere el $\delta_1$ de la función extendida
$f_1(x)=$primera fórmula definida para todos los reales
y considere el $\delta_2$ de la función
$f_2(x)=$segunda fórmula definida para todos los reales.
Verifique que para $\delta=min( \delta_1,\delta_2)$ se cumpla la definición de límite.

Límites que no existes no implica que límite de combinaciones de las funciones no existan
Suponga que se tienen dos funciones cuyos límites no existe en un punto. No podemos concluir nada acerca del límite de una combinación de estas funciones.
Es claro que los límites de las funciones $f(x)=\frac{1}{x^2}$ y $g(x)=\frac{ 1}{x^4 }$ en 0 no existen pues $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1 }{x^2 }=+\infty \ \text{ y } \ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ 1}{x^4 }=+\infty $$ Sin embargo, el límite del cociente si existe $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ f(x)}{g(x) }=0$$

Ejercicios Determine los límites de la función $f$ cuyo gráfica se muestra abajo, si existe. En caso que no exista, explique por qué no. $$ a) \ \lim_{x\rightarrow A} f(x) \qquad a) \ \lim_{x\rightarrow B} f(x) \\ c) \ \lim_{x\rightarrow C} f(x) \qquad d) \ \lim_{x\rightarrow D} f(x) \\ e) \ \lim_{x\rightarrow E} f(x)$$

La función tiene límite en A y vale 0. Aún cuando la función oscila, los valores de la función se acercan a 0 cuando x se aproxima a 0.

El límite en x=B no existe porque los laterales son distintos

El límite en x=C no existe. El límite es menos infinito.

El límite en x=D existe, pues los laterales son iguales.

El límite en x=E no existe, en cualquier intervalo abierto que contenga a E, la función oscila, toma cualquier valor entre 4 y 6 un número infinito de veces.

Funciones de varias variables

Podemos encontrar ejemplos de muchas de las situaciones descritas para funciones de varias variables. Por ejemplo, la función $$f(x,y)= \frac{1}{x^2+y^2}$$ tiene límite infinito en (0,0), el límite no existe.

La función $g(x,y)=sen(\frac{1}{x^2+y^2})$ no tiene límite en (0,0) pues la función toma cualquier valor entre –1 y 1 en cualquier entorno del punto (0,0) un número infinito de veces.

En funciones de varias variables no tiene sentido hablar de límites laterales, pero sí de límites cuando nos acercamos al punto a través de distintos caminos, trozos de curvas

En determinados límites se puede mostrar que no existe, si para dos caminos distintos que conducen al punto (x₀,,y₀) obtenemos límites distintos.

Criterio de las trayectorias para probar que un límite no existe
Si hay dos trayectorias que llegan al punto $(x_0,y_0)$ tal que los límites de $f(x,y)$ a lo largo de estas trayectorias son distintos entonces $$ \lim_ { (x,y)\rightarrow (0,0) } f(x,y) \ \text { no existe}$$

Muchas veces la no existencia se muestra a través de una familia de curvas que dependen de un parámetro, viendo que el límite de cada trayectoria que conduce al punto depende del parámetro.

Por ejemplo, la función $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ no tiene límite en (0,0). Tomemos la familia de rectas que pasan por el origen $y=mx$. En el botón mostramos que para $m$ fijo se obtiene $$ \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} f(x,y)=\frac{m}{1+m^2}$$ Como para trayectorias distintas se tienen límites distintos se concluye que $$ \lim_{ (x,y)\rightarrow (0,0) } f(x,y) \ \text{ no existe} $$

Los límites son distintos para cada trayectoria. Por ejemplo, para $y=2x$ se tiene $$ \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=2x \end{matrix} }} f(x)=\frac{2}{5}$$ Y para $y=3x$ se tiene $$ \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=3x \end{matrix} }} f(x)=\frac{3}{10}$$ Claramente se tienen dos trayectorias que llegan al punto (0,0) con límites distintos, por tanto $$ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x) \text{ no existe}$$ Vamos a ver que $$ \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} f(x,y)=\frac{m}{1+m^2}$$ Primero sustituimos $y$ por $mx$. Luego se factoriza $x^2$ y se simplifica, quedando el límite de una constante.

$ \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} f(x,y)$ $ = \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} \frac{x\cdot mx}{x^2+(mx)^2} $ $= \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} \frac{mx^2}{x^2+m^2x^2} $ $ = \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} \frac{m}{1+m^2} $ $=\frac{m}{1+m^2} $

La familia de rectas no siempre sirve para demostrar que un límite no existe. Por ejemplo, para la función $g(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^4}$ se tiene que $$ \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} g(x,y)= 0$$

Vamos a ver que $$ \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} g(x,y)= 0$$ Primero sustituimos $y$ por $mx$. Luego se factoriza $x^2$ y se simplifica, quedando el límite de una constante.

$ \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} g(x,y) $ $ = \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} \frac{x\cdot (mx)^2}{x^2+(mx)^4} $ $ = \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} \frac{m^2x^3}{x^2+m^4x^4} $ $ = \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=mx \end{matrix} }} \frac{m^2x}{1+m^4x^2} $ $ = 0 $

El hecho que los límites de cada trayectoria recta sean todos iguales a 0 no implica que el límite exista. Efectivamente, en este caso, si nos aceramos a (0,0) por la curva $y=\sqrt{x} $, con $x$ > 0, obtenemos $$ \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=\sqrt{x}, \ x>0 \end{matrix} }} g(x,y)= \frac{1}{2}$$

Primero sustituimos $y$ por $ \sqrt{x} $. Luego se simplifica, quedando el límite de una constante.

$ \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=\sqrt{x} \end{matrix} }} g(x,y)$ $ = \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=\sqrt{x} \end{matrix} }} \frac{x\cdot (\sqrt{x} )^2 }{x^2+(\sqrt{x})^4} $ $= \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=\sqrt{x} \end{matrix} }} \frac{x^2}{x^2+x^2} $ $ = \lim_ { {\small \begin{matrix} (x,y)\rightarrow (0,0) \\ y=\sqrt{x} \end{matrix} }} \frac{1 }{2} $ $= \frac{1 }{2}$

Como hay dos trayectorias con límites distintos concluimos que $$ \lim_ { (x,y)\rightarrow (0,0) } g(x,y) \ \text { no existe}$$