Formas indeterminadas del tipo 0/0

¿Cuándo resolver un límite usando la conjugada?





Recuerda que en el caso de límites se usa la conjugada cuando se tiene una indeterminación del tipo 0/0 en que el numerador o denominador es un binomio con solamente raíces cuadradas. También en las indeterminaciones infinito menos infinito de binomios con raíces cuadradas es recomendable la conjugada.



¿Para cuáles límites usas racionalización para determinarlos?

Mediante los ejemplos queremos mostrarte cuando es conveniente racionalizar y cómo efectuarla de acuerdo al caso para determinar un límite.

Si no se tiene indeterminación no se aplica la recomendación de racionalizar.

¿Determinarías $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x}-2}{x+2}$ usando conjugada?
Ver la solución de este límite





Si no se tiene un binomio o no se tiene raíces cuadradas no se aplica la recomendación de racionalizar.

Muchos desarrollos incorrectos tienen su origen en identificar de manera errónea la función a la que se le está tomando límite. Es importante no sólo identificar el índice(s) de el(los) radical(es), sino también si se tiene monomio, binomio o trinomio en el numerador o denominador de la expresión con radicales.

Observa hasta donde llega el signo radical.



¿Determinarías $\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{\sqrt[5]{x-3}}$ usando conjugada?
Ver la solución de este límite

Empleamos dos métodos para resolver la indeterminación:
Método 1 Racionalizando el denominador, (pero no por la conjugada)
Método 2 Pasando el radical a notación de exponente racional y simplificar de acuerdo a las reglas de las potencias. Al simplificar, desaparece la indeterminación.



¿Cómo resolverías el límite del video?



La conjugada en conocida más generalmente con el factor racionalizante de un binomio con raíces cuadradas. En el caso de binomio con raíces cúbicas se tiene:

$$ a^3+b^3=(a+b)\underbrace{\left ( a^2-ab+b^2 \right )} \\ \hspace{23 mm}\text{ identificar con factor racionalizante} $$



¿Determinarías $$\lim_{x\to -1}\frac{\sqrt[3]{x}+1}{x+1}$$     usando conjugada?
Ver la solución de este límite



   Luego de racionalizar,
   se busca cancelar factores idénticos del numerador y del denominador.




Doble conjugada

A veces se tiene binomios con raíces cuadradas tanto en el numerador como en el denominador. Entonces se racionaliza el numerador con su conjugada y el denominador con su conjugada.

¿Cómo determinarías $$\lim_{x\to 4}\frac{2\sqrt{x}-4}{\sqrt{2(x-2)}-2}?$$ Ver la resolución


Indeterminaciones $\infty-\infty$

La conjugada también es recomendable aplicarla en formas indeterminadas del tipo infinito menos infinito como las del ejemplo.

Recuerda: Multiplicar y dividir la expresión por la conjugada.
Luego de desarrollar el producto planteado, se simplifican las expresiones resultantes del numerador. En muchas situaciones resolveras la indeterminación al reducir los términos semejantes del numerador, en otros casos te consiguirás una indeterminación infinito sobre infinito.

¿Cómo determinarías $$\lim_{x\to {+\infty}}{(\sqrt{x^2+1}-x})?$$ Ver la resolución


En el caso de trinomio con raíces cuadradas y el límite una indeterminación, en ocasiones se pueden asociar dos términos para interpretarlo como un binomio y entonces aplicar la conjugada. Luego de simplificar, se analiza la situación del límite resultante y se aplica la recomendación del caso.