Regla de l´Hôpital y formas indeterminadas
Cálculo de límites

INTRODUCCIÓN

El límite es una forma indeterminada 0/0, pues tanto el numerador como el denominador tienden a 0 cuando $x$ tiende a 0. Este límite no puede ser determinado usando operaciones algebraicas que permitan la cancelación de factores del numerador y denominador. Éste junto con otros límites de cocientes que son formas indeterminadas 0/0 o infinito sobre infinito pueden ser evaluado aplicando la regla de l'Hôpital, calculado el límite del cociente de las derivadas.


Regla de l'Hôpital
Sean $f$ y $g$ derivables y $ \lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0$
Si el límite $ \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe o bien es $\infty$ o bien $-\infty$, entonces

$ \lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} $



Ejemplo Encuentre


Solución Ya observamos que el límite es una forma indeterminada 0/0. Tanto la función del numerador y denominador son derivables, entonces el límite se puede determinar usando la regla de l´Hôpital





La regla se sigue cumpliendo en el caso que se tenga una forma indeterminada del tipo infinito sobre infinito. Esto es si

       

También se cumple para límites laterales, es decir, si c es sustituido por $c^+$ o $c^-.$

Finalmente, se cumple para límites en el infinito, c por ∞.


Ejemplo Encuentre


Solución Al intentar aplicar sustitución directa nos percatamos que tenemos una indeterminación 0/0. Efectivamente, tenemos una indeterminación pues

Intentamos de encontrar el límite aplicando la regla de l'Hôpital




Video 1
DESPUÉS DE APLICAR L´HÔPITAL

Se esquematiza distintas situaciones que pueden ocurrir después de aplicar l'Hôpital y cómo proceder para determinar el límite resultante. Se muestran cuatro ejemplos de límites de cocientes que presentan formas indeterminadas cero sobre cero o infinito sobre infinito en que luego de aplicar l´Hôpital en alguno desaparece la indeterminación y en otros sigue, en estos casos se insiste en simplificar antes de volver aplicar l´Hôpital, logrando resolver el límite de una manera más sencilla.


Ejercicios Encontrar


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Respuestas
1) 1/2;   2) -1/4;   3) -1/2;   4) 2;   5) -1 ;   6) ∞   7) -1;  




COMENTARIOS SOBRE LA REGLA DE L´HÔPITAL

¿Siempre se puede obtener el valor del límite usando L´Hôpital?
Se muestra distintos ejemplos que contesta la pregunta, haciendo comentarios a ser tomados en cuenta a la hora de usar la regla de L´Hôpital.


Ejercicios Encontrar

Respuestas
8) 0;   9) 0;   10) -1;   11) 0;   12) – ∞ ;   13) 1;   14) 1;   15) 2;  



ENCONTRAR LÍMITES CERO POR INFINITO USANDO LA REGLA DE L'HÔPITAL

Se muestran ejemplos sencillos de límites que presentan forma indeterminada cero por infinito que pueden ser resueltos simplificando, mostrando que un límite que presenta esta forma puede valer cero, una constante o infinito, entre otras posibilidades. Sin embargo, hay límites con estas formas indeterminadas que no pueden ser resueltos simplificando, tampoco directamente usando e la regla de L´Hôpital pues no se tienen límites de cocientes, entonces se reescriben como un cociente.


Ejercicios Hallar

Respuestas
16) 0;   17) –∞ ;   18) ∞   19) –2 ;   20) 0 ;   21) 2;   22) –∞ ;  




ENCONTRAR LÍMITES UNO A LA INFINITO,
CERO A LA CERO E INFINITO A LA CERO,
USANDO LA REGLA DE L'HÔPITAL


Ejercicios Calcular cada uno de los siguientes límites


Respuestas
23) e -3;   24) e 2;   25) 1;   26) e 2;  
27) No hace falta usar l'Hôpital. Al aplicar la propiedad de la potencia de una potencia y simplificar desaparece la indeterminación.
27) e -1;