El límite
es una forma indeterminada 0/0, pues tanto el numerador como el
denominador tienden a 0 cuando $x$ tiende a 0. Este límite no puede ser
determinado usando operaciones algebraicas que permitan la cancelación de
factores del numerador y denominador. Éste junto con otros límites de
cocientes que son formas indeterminadas 0/0 o infinito sobre infinito pueden
ser evaluado aplicando la regla de l'Hôpital, calculado el límite del cociente
de las derivadas.
Regla de l'Hôpital
Sean $f$ y $g$ derivables y $ \lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0$
Si el límite $ \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe o bien es $\infty$
o bien $-\infty$, entonces
Solución Ya observamos que el límite es una forma
indeterminada 0/0. Tanto la función del numerador y
denominador son derivables, entonces el límite se puede
determinar usando la regla de l´Hôpital
La regla se sigue cumpliendo en el
caso que se tenga una forma indeterminada del tipo infinito sobre infinito.
Esto es si
También se cumple para límites laterales, es decir, si c
es sustituido por $c^+$ o $c^-.$
Finalmente, se cumple para límites en el infinito, c
por ∞.
Ejemplo Encuentre
Solución Al intentar aplicar sustitución directa nos percatamos
que tenemos una indeterminación 0/0. Efectivamente, tenemos
una indeterminación pues
Intentamos de encontrar el límite aplicando la regla de l'Hôpital
Video 1
DESPUÉS DE APLICAR L´HÔPITAL
Se esquematiza distintas situaciones que pueden ocurrir después de aplicar
l'Hôpital y cómo proceder para determinar el límite resultante. Se muestran
cuatro ejemplos de límites de cocientes que presentan formas
indeterminadas cero sobre cero o infinito sobre infinito en que luego de
aplicar l´Hôpital en alguno desaparece la indeterminación y en otros sigue,
en estos casos se insiste en simplificar antes de volver aplicar l´Hôpital,
logrando resolver el límite de una manera más sencilla.
¿Siempre se puede obtener el valor del límite usando
L´Hôpital?
Se muestra distintos ejemplos que contesta la pregunta, haciendo
comentarios a ser tomados en cuenta a la hora de usar la regla de L´Hôpital.
ENCONTRAR LÍMITES CERO POR INFINITO USANDO LA
REGLA DE L'HÔPITAL
Se muestran ejemplos sencillos de límites que presentan forma
indeterminada cero por infinito que pueden ser resueltos simplificando,
mostrando que un límite que presenta esta forma puede valer cero, una
constante o infinito, entre otras posibilidades. Sin embargo, hay límites
con estas formas indeterminadas que no pueden ser resueltos
simplificando, tampoco directamente usando e la regla de L´Hôpital pues
no se tienen límites de cocientes, entonces se reescriben como un
cociente.
ENCONTRAR LÍMITES UNO A LA INFINITO,
CERO A LA CERO E
INFINITO A LA CERO,
USANDO LA REGLA DE L'HÔPITAL
Pasos
1) Aplicar $e^{\ln}$ al lado derecho de la expresión $y=\lim (f(x))^{g(x)}$
$$y= e^{\ln \lim (f(x))^{g(x)}}$$
2) Usar la propiedad de continuidad en los límites
$$y= e^{ \lim ( \ln (f(x))^{g(x)})}$$
3) Aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia en el lado derecho
$$y= e^{ \lim (g(x)\cdot \ln (f(x)))}$$
4) Llevar el limite del exponente a un cociente. Aparecerá una forma indeterminada.
Aplicar L'Hôpital.
El límite es una forma indeterminada 0/0. Aplicamos L'Hôpital.
$y=e^{\lim_{x\to 0}{\frac{(5\ln(1+2x)) '}{(3x) '}}}$
$ \qquad=e^{\lim_{x\to 0}{\frac{(5\frac{2}{1+2x})}{3}}}$
$ \qquad=e^{\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{10}{1+2x}}{3}}} \quad$ Ya no hay indeterminación
$ \qquad=e^{\lim_{x\to 0}{\frac{10}{3(1+2x)}}} \quad$ Evaluamos el límite
$ \qquad=e^{\frac{10}{3}} \quad$
Ejercicios Calcular cada uno de los siguientes límites
Respuestas 23) e-3;
24) e2;
25) 1;
26) e2;
27) No hace falta usar l'Hôpital. Al aplicar la propiedad de la potencia de una potencia y simplificar desaparece la indeterminación. 27) e-1;