Regla de la cadena para derivar
Funciones compuestas
La función
H(x)=(2x+3)2
puede ser derivada, reescribiendo antes la función, desarrollando la potencia
H(x)= 4x2+24x+9, para luego derivar, usando las reglas de la suma, del factor constante y de la potencia:
Pero, ¿cómo derivar estas otras funciones? $$F(x)=\left( 2x + 7 \right)^{45}, \qquad H(x)=\sqrt{x^2 + 1},$$ En $F$ podemos desarrollar la potencia, usando el binomio de Newton, algo complicado. La última función no la podemos derivar con las reglas de la suma, del producto o del cociente. Necesitamos una regla que permita derivar de una vez una potencia o una raiz de una función, g, distinta de una potencia de $x$. $$ F(x)=\left( g(x) \right)^{45}, \qquad \qquad H(x)=\sqrt{g(x)}, $$ Fijate, estamos combinando dos funciones, a través de la composición $f\circ g $ La función $g$ es conocida como la función interna y $f$ como la función externa.
En $F(x)=\left( 2x + 7 \right)^{45}$ tenemos que la función externa y la función interna son respectivamente $$ f(x)=\left( x \right)^{45}, \qquad \qquad g(x)= 2x+ 7 $$ Efectivamente, si efectuas la composición de $f$ con $g$ obtienes la función $F$.
La regla que permite derivar este tipo de funciones es conocida como la regla de la cadena: $$ \left(f\circ g\right) '\left( x \right) =f'\left( g\left( x \right) \right)g'\left( x \right) $$ En palabras dice que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función externa evaluada en la interna por la derivada de la función interna.
Enunciado y demostración
Aplicada esta regla para obtener la derivada de $F$ queda:
$F'(x)=45(2x+7)^{44}\cdot (2x+7)' $
$\qquad =45(2x+7)^{44}\cdot 2 $
$\qquad =90(2x+7)^{44} $
IDENTIFICAR LA FUNCIÓN EXTERNA, LA INTERNA Y DERIVAR
En la animación mostramos varios ejemplos de cómo aplicar la
regla de la cadena.
H(x)= 4x2+24x+9, para luego derivar, usando las reglas de la suma, del factor constante y de la potencia:
H '(x)= 8x+24
Pero, ¿cómo derivar estas otras funciones? $$F(x)=\left( 2x + 7 \right)^{45}, \qquad H(x)=\sqrt{x^2 + 1},$$ En $F$ podemos desarrollar la potencia, usando el binomio de Newton, algo complicado. La última función no la podemos derivar con las reglas de la suma, del producto o del cociente. Necesitamos una regla que permita derivar de una vez una potencia o una raiz de una función, g, distinta de una potencia de $x$. $$ F(x)=\left( g(x) \right)^{45}, \qquad \qquad H(x)=\sqrt{g(x)}, $$ Fijate, estamos combinando dos funciones, a través de la composición $f\circ g $ La función $g$ es conocida como la función interna y $f$ como la función externa.
En $F(x)=\left( 2x + 7 \right)^{45}$ tenemos que la función externa y la función interna son respectivamente $$ f(x)=\left( x \right)^{45}, \qquad \qquad g(x)= 2x+ 7 $$ Efectivamente, si efectuas la composición de $f$ con $g$ obtienes la función $F$.
La regla que permite derivar este tipo de funciones es conocida como la regla de la cadena: $$ \left(f\circ g\right) '\left( x \right) =f'\left( g\left( x \right) \right)g'\left( x \right) $$ En palabras dice que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función externa evaluada en la interna por la derivada de la función interna.
Enunciado y demostración
Aplicada esta regla para obtener la derivada de $F$ queda:
$F'(x)=45(2x+7)^{44}\cdot (2x+7)' $
$\qquad =45(2x+7)^{44}\cdot 2 $
$\qquad =90(2x+7)^{44} $