Método de derivación  logarítmica

Te imaginas derivar una función como

Esta función puede ser vista como un cociente de funciones complicadas, en que el numerador es un producto. Cuando se tiene una función que es producto, cociente, potencia o radical de funciones complicadas, se suele emplear la técnica de derivación logarítmica. También se emplea en funciones del tipo función elevada a función, en que la variable está tanto en la base como el exponente.

El método se basa en los siguientes pasos:
1) Tomar logaritmos a ambos miembros, antes de derivar
2) Aplicar propiedades de los logaritmos.
3) Derivar implícitamente.
4) Despejar la derivada.
5) Sustituir y por su definición
.

Para continuar debes dominar
Derivación implícita
Derivada de funciones
que contienen logaritmos




Resumen del video

Se establecen los pasos de esta técnica. Se desarrollan dos ejemplos s en que se obtiene la derivada de una función que es un producto, cociente o función elevada a función usando el método de diferenciación logarítmica. Se explica el por qué de los pasos del método de diferenciación logarítmica.






   

Derivadas de funciones complicadas que aparecen productos, cocientes o potencias combinadas

Ejemplo resuelto por pasos
Encuentrar $dy/dx$ siguiendo los pasos de derivación logarítmica.
  $y=x^4(x-1)^2\sqrt{x+1}$
Solución
P1) Tome logaritmos a ambos miembros.
P1)

$$ \ln \left (y \right )=\ln\left (x^4(x-1)^2\sqrt{x+1} \right ) $$


P2) Aplique propiedades de los logaritmos en el lado derecho hasta que ningún logaritmo sea un producto, cociente o potencia.
P2)

$\small \small \ln \left (y \right )=\ln\left (x^4 \right ) + \ln\left ((x-1)^2 \right )+ \ln\left ( (x+1)^{1/2} \right ) $

Falta aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia
$\small \small \ln \left (y \right )=4\ln\left (x \right ) + 2 \ln \left (x-1 \right )+ \cfrac{1}{2} \ln\left ( x+1 \right ) $

P3) Derive implícitamente.

P3)
$\small \small \cfrac{1}{y}{y}'= 4\cfrac{1}{x}+2\cfrac{1}{x-1}+\cfrac{1}{2}\cfrac{1}{x+1} $
Recuerde que ${y}' $ representa la derivada de $y$ con respecto a $x$, $ \cfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} $

P4) Despeje $y'$.

P4)
$\small \small {y}'= {y} \left ( \cfrac{4}{x}+\cfrac{2}{x-1}+\cfrac{1}{2(x+1)} \right ) $

P5) Sustituya $y$ por su definición.

P5)
$ \tiny \small \small {y}'$ $\tiny \small \small= x^4(x-1)^2\sqrt{x+1} \left ( \cfrac{4}{x}+\cfrac{2}{x-1}+\cfrac{1}{2(x+1)} \right ) $ Puede o no distribuir y simplificar.





Comentario En el resultado de la derivada aparece muchas veces una suma fraccionaria, estas sumas no se suelen ejecutar.
Comentarios del paso 2

Cuando aparezcan radicales, aplique la definición de exponentes fraccionarios para escribir los radicales como una potencia



En conveniente expandir los logaritmos hasta no haya argumentos que sean productos, cocientes o potencias, así la derivaciones serán más sencillas.






   




Ejemplo Hallar la derivada de
 
Solución
Primera parte Segunda parte parte



Ejercicio Encontrar $dy/dx$, usando derivación logarítmica. $$ y= \frac{x\left ( x^2+1 \right )^3}{\sqrt{3x^2-1}} $$
Respuesta
$\small {y}'= \frac{x\left ( x^2+1 \right )^3}{\sqrt{3x^2-1}}\left ( \frac{1}{x} +3\left ( \frac{2x}{x^2+1} \right )-\frac{1}{2}\frac{6x}{3x^2-1}\right ) $





   


Derivada de función elevada a función, $ y=f(x)^{g(x)} $

Este método de derivación se usa como procedimiento alternativo para obtener la derivada de función elevada a función.

Ejemplo Para $y=(x+1)^{x^2} $, encontrar $dy/dx$
P1) Tomar logaritmos a ambos miembros
$$ \ln \left (y \right )=\ln\left ((x+1)^{x^2} \right ) $$ P2) Aplicar propiedades de los logaritmos.


El argumento en el lado derecho es una potencia. Se aplica la propiedad.

$$\ln \left (y \right )={x^2}\ln\left ((x+1) \right ) $$ P3) Derivar implícitamente.

En el lado derecho se aplica la propiedad de la derivada de un producto.


$$ \cfrac{1}{y}{y}'= 2x\ln(x+1)+ x^2\cdot\cfrac{1}{x+1}$$ $$ \cfrac{1}{y}{y}'= 2x\ln(x+1)+ \cfrac{x^2}{x+1}$$ P4) Despejar ${y}' $
$$ {y}'=y \left (2x\ln(x+1)+ \cfrac{x^2}{x+1} \right )$$ P5) Sustituir $y$
$$ {y}'= (x+1)^{x^2} \left (2x\ln(x+1)+ \cfrac{x^2}{x+1} \right )$$






Si el exponente o la base es una constante es preferible usar la regla de la potencia o la regla de la exponencial, respectivamente.








   
Ejemplo Para cada una de las siguiente funciones, encontrar $dy/dx$. Use la regla de la potencia o de la exponencial combinada con la regla de la cadena en caso que se pueda.
$a) \ y=(x+1)^{\pi-1}; \\ b) \ y=(2x)^{x/2}; \\ c) \ y=(\sqrt{2})^{x^2}$

a) $ \ y=(x+1)^{\pi-1}$
El exponente es una constante, se puede usar la regla de la cadena con función externa una potencia, potencia generalizada $$ {y}'=(\pi-1)(x+1)^{\pi-2} $$



a) $\ y=(2x)^{x/2}$
Tanto en la base como en el exponente está la variable. La derivación logarítmica es uno de los métodos recomendados.
P1 Tomar logaritmos a ambos miembros $$ \ln y=\ln \left ((2x)^{x/2} \right ) $$
P2 Desarrollar los logaritmos $$ \ln y= \frac{x}{2} \ln \left (2x \right )$$ Podemos dejarlo hasta aquí, pero también podemos seguir, aplicando la propiedad del logaritmo de un producto. $$ \ln y= \frac{x}{2} \left (\ln2+\ln x \right ) $$
P3 Derivar implícitamente $$\cfrac{1}{y}{y}'= \frac{1}{2} \left (\ln2+\ln x \right )+\frac{x}{2} \left (\frac{1}{x} \right ) $$ En el lado derecho se uso la regla del producto. Simplificando queda $$\cfrac{{y}'}{y}= \frac{1}{2} \left (\ln2+\ln x +1 \right ) $$
P4 Despejar ${y}'$ $$ {y}'=y\left (\frac{1}{2} \left (\ln2+\ln x +1 \right ) \right )\\ $$

P5 Sustituir $y$ $$ {y}'=\frac{(2x)^{x/2}}{2} \left ( \ln2+\ln x +1 \right )\\ $$



c) $ \ y=(\sqrt{2})^{x^2}$
La base es una constante, es preferible derivar usando la derivada de la función exponencial compuesta con función. Como la base es distinta del número $e$ aparece el factor logaritmo neperiano de la base. $${\left ( a^{u} \right )}'=a^{u} {u}'\ln ( a )$$ Al aplicar la fórmula obtenemos $$ {y}'= (\sqrt{2})^{x^2}\cdot \left (2x \right ) \cdot \ln ( \sqrt{2} ) $$