ENCONTRAR LÍMITES APLICANDO SUS PROPIEDADES
Video Determinación de un límite usando las leyes de los límites
Se enuncian las propiedades de límites, se da una descripción verbal de cada propiedad. Entre las propiedades están la de la raíz, de polinomios y de una función racional . Luego, consigue un límite de manera justificada diciendo en cada paso la(s) ley(es) que se está(n) usando.Ejercicios para despues del video
(Resueltos en el documanto PDF)
Determinar el siguiente límite, justificando en cada paso la(s) propiedad(es) de límites usada(s)
Desarrollo
Justificando cada igualdad.
Abajo se enuncian las principales leyes de los límites usadas para calcularlos a ser tomadas en cuenta para desarrollar los ejercicios propuestos.
Las propiedades del segundo recuadro establecen que los límites respetan las operaciones del álgebra, así verás que el límite de una suma es la suma de los límites, el límite de una potencia es la potencia del límite...
Estas leyes que asumen que existen los límites de dos funciones en el punto $a$, se prueban a partir de la definición de límite. La conclusión tiene dos partes, la primera es que el límite de las funciones suma, diferencia, cociente... existen en a y la segunda parte establece cuánto valen a partir de los límites de las dos funciones.
Especial cuidado hay que tener con el límite de un cociente, verbalmente enunciamos esta ley diciendo que el límite de un cociente es el cociente de los límites siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.
Otro caso a tener cuidado es con el limite de una raíz cuando el índice es par. Podemos establecer muchas condiciones suficientes para que este límite exista y sea igual a la raíz del límite. La condición más frecuente es que el limite del radicando sea estrictamente mayor a cero. (Otras condiciones buscan garantizar que exista un intervalo conteniendo al punto tal que la función sea no negativa en el intervalo)
Enunciados de algunas
propiedades de límites
Decimos que un límite lo calculamos por sustitución directa si el valor del límite es igual al valor de la función en el punto considerado. No todos los límites se pueden calcular por sustitución directa. En la segunda página del documento establecemos que límites de funciones polinómicas y racionales que están definidas en el punto pueden ser calculadas de esta manera, se muestran ejemplos junto con las demostraciones de estos resultados.