DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Se puede resolver las desigualdades o inecuaciones cuadráticas con una sola variable de muchas maneras, una técnica, cuyos pasos lo justifican, es el método de los signos. Se basa en dos hechos: primero en que se puede determinar el signo de un producto conociendo el signo de los factores, segundo si se tiene una desigualdad en que aparece "mayor a 0" o "menor a cero", estas son interpretadas como "positivo" o "negativo". Se analiza que ocurre cuando la desigualdad es del tipo polinomio cuadrático irreducible > 0, es decir si ya tenemos el cero de un lado de la inecuación, en el otro lado se presenta un polinomio que no se puede factorizar más en los reales, esto es, no tiene raíces reales. Técnicas alternativas son vistas en documentos PDF tipo diapositiva y animaciones Flash, como transformar la desigualdad en otra con valor absoluto, enlace a la técnica geométrica, una versión abreviada del método de los signos en que se toman valores de prueba dentro de los intervalos. Se ha colocado un enlace que sirva para visualizar cómo la técnica divide y conquistaras puede ser aplicada a desigualdades más generales.

Video 1
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE

Se define una desigualdad cuadrática y se explica la técnica de los signos para resolver desigualdades no lineales. Se mencionan las dos estrategias para determinar el signo de los factores en cada intervalo. Se desarrolla un ejemplo en que se determina los signos de los factores tomando valores de prueba.

Ejercicios para después del video
1) Resuelva cada desigualdad
1.1)  (x-1)(x+2)>0     1.2) (2x-1)(x+4)<0

Video 2
EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD CUADRÁTICA

Se resuelve una inecuación cuadrática empleando el método de los signos. Los signos de los factores se determinan tomando valores de prueba dentro del intervalo.

Ejercicios para después del video
1) Resuelva las siguientes desigualdades
1.1) $x^2+2x-3\gt0$
1.2) $(x+2)(x+3)+3(x+2)\le 0$
1.3) $3x^2\gt 2x^2+5x+6$

---

Video 3
CASOS PARTICULARES DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

¿Qué pasa cuando la desigualdad cuadrática ya está escrita en su forma canónica y el polinomio no se puede factorizar? El video establece el tipo de solución y muestra un procedimiento, tomando un valor de prueba, en que la solución se obtiene rápidamente. El vacio o todos los reales se pueden presentar como conjuntos solución. Esto ocurre, por ejemplo, en desigualdades cuadráticas que cuando se escriben en su forma estandar, el polinomio de segundo grado es irreducible, esto es, no tiene raíces reales. El video empieza con dos desigualdades cuadráticas que tienen esta peculiaridad y en que es muy fácil deducir el resultado. Luego, se da un procedimiento para determinar el conjunto solución de una manera rápida. Finalmente, demuestra, para el caso general, por qué se presenta este tipo de solución.

Ejercicios para después del video
1) Resuelva las siguientes desigualdades
1.1) $x^2-3x+8\gt 0$;   1.2) $(x-1)^2+4\lt 0$;   1.3) $x-8\ge (x-2)(x+2)$   

---

Documento 1
RESOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD CUADRÁTICA Y RESPUESTAS

Se resuelve una inecuación cuadrática empleando el método de los signos. Los signos de los factores se determinan resolviendo las desigualdades "factor > 0 ".

Ejercicios para después del video
1) Resuelva las siguientes desigualdades
1.1) $x^2\ge 3x $;  
1.2) $(x-3)^2-4(x-3)\lt 0$;  
1.3) $2(x-3)(x+3)\gt (x-3)(x-2)$   

Respuestas
Ejercicios resueltos

OTROS PROCEDIMIENTOS PARA RESOLVER INECUACIONES CUADRÁTICAS

De acuerdo a la forma que se presenta la desigualdad hay métodos que pueden resultar más rápidos que otros. También podemos abreviar el método de los signos asumiendo que las soluciones dependen de las raíces del polinomio cuadrático cuando la desigualdad está escrita en la forma

        $ax^2+bx+x\gt 0$



Comentario En desigualdades con la forma $(x+b)^2\gt c(x+b)$ muchos estudiantes cometen el error de cancelar o pasar dividiendo el factor $(x+b)$ sin hacer consideraciones acerca del signo del factor.

---

TRANSFORMANDO LA DESIGUALDAD EN OTRA CON VALOR ABSOLUTO

Para desigualdades que pueden ser llevadas a la forma $$(x+b)^2\gt c$$ con $c\gt 0$, se puede optar por el procedimiento en que se lleva la desigualdad a otra equivalente con valor absoluto. Entonces, se resuelve la desigualdad con valor absoluto.
En el documento presentamos dos maneras de resolver una desigualdad cuadrática: Resolviendo una desigualdad equivalente con valor absoluto y usando el método de los signos.

Resolver $(x+3)^2\lt 4$
Ejercicios resuelto por dos métodos

---

TOMANDO VALORES DE PRUEBA

Versión rápida del método de los signos. En la desigualdad
        Polinomio de segundo grado >0
el conjunto solución puede ser expresado en términos de los intervalos definidos por las raíces del polinomio. Entonces es suficiente tomar valores de prueba dentro de cada intervalo para determinar el signo del polinomio en cada intervalo. En este procedimiento no se requiere factorizar el polinomio. El ejemplo que se presenta el polinomio tiene raíces irracionales.

Resolver $2x^2-4x+1\le 0$
Sin factorizar

---

PROCEDIMIENTOS GEOMÉTRICOS

Para este procedimiento se requiere conocimientos de gráficas de funciones cuadráticas o saber cómo es la gráfica de la ecuación de segundo grado (la parábola)

En el documento en PDF puedes ver ejemplos
de cómo resolver gráficamente
inecuaciones cuadráticas

EL MÉTODO DE LOS SIGNOS APLICADOS A OTROS TIPOS DE DESIGUALDADES

Se ha comentado que expresiones que contengan la variable no pueden pasar multiplicando, ni dividiendo sin hacer consideraciones de signos. En el enlace se muestra cómo resolver inecuaciones racionales y polinómicas usando las ideas del método de los signos. Ayuda a entender la resolución de inecuaciones de la forma
$$ \frac{\left( x +2 \right)}{x}\quad \gt \quad \frac{2\left( x-1 \right)}{x} $$