Interpretación geométrica del valor absoluto

Básicamente nos enfocaremos en la interpretación geométrica de dos expresiones $|a|$ y $|b-a|$ Su significado nos permitirá visualizar algunas propiedades del valor absoluto. También podremos resolver algunas ecuaciones e inecuaciones sencillas con valor absoluto.

Contenido
1 Interpretación geométrica de $|a|$ 2 Interpretación geométrica de $|b-a|$

Interpretación geométrica de $|a|$

En la figura se puede observar que la distancia, en la recta real, del punto cuya coordenada es 3 al origen es igual a 3.

Por otro lado, vemos que la distancia del punto con coordenada igual a $- 3$ al origen, 0, es $3$. La distancia siempre es una cantidad positiva.
En general para cualquier número , $a$, positivo o negativo, tenemos que la distancia del punto con coordenada $a$ al origen lo podemos abreviar anotando $|a|$

El valor absoluto de $a$ se interpreta como la distancia del origen al punto con coordenada $ a$.


De ahora en adelante hablaremos de puntos y números indistintamente.

Interpretación de $|a|$

$|a|$ es la distancia de $a$ al 0.





   
Esta interpretación geométrica ayuda a visualizar algunas propiedades del valor absoluto.




Ejemplo Considere el conjunto de puntos en la recta real cuya distancia al origen es menor que 3.
a) Describa este conjunto en términos de una desigualdad con un valor absoluto.
Es el conjunto de puntos cuyas coordenadas $x$ satisfacen $$|x|\lt 3$$

b) Represéntelo gráficamente.

c) Escriba una condición satisfecha exclusivamente por cada punto de este conjunto que use desigualdades sin valor absoluto.
Las coordenadas $x$ de los puntos satisfacen la desigualdad doble

$-3 \lt x \lt 3 $



Ejemplo Considere el conjunto de puntos en la recta real cuya distancia al origen es mayor que 1.
a) Describa este conjunto en términos de una desigualdad con un valor absoluto.
Es el conjunto de puntos cuyas coordenadas $x$ satisfacen $$|x| > 1$$

b) Represéntelo gráficamente.

c) Escriba una condición satisfecha exclusivamente por cada punto de este conjunto que use desigualdades sin valor absoluto.

Las coordenadas x de los puntos satisfacen $$ x \lt -1 \quad o \quad x> 1$$






   


De los ejemplos podemos intuir la siguiente proposición de equivalencia que nos permitirá resolver algunas inecuaciones con valor absoluto.

Proposición Para $c>0$ tenemos

1   $|expresi \acute{o} n| \lt c $ es equivalente a $ -c \lt expresi \acute{o} n \lt c $.

2   $|expresi \acute{o} n| > c $ es equivalente a   $expresi \acute{o} n \lt -c $  o   $ expresi \acute{o} n>c $

Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no estrictas, $\le$ y $\ge$ .





   



Interpretación geométrica de $|b-a|$

La distancia entre dos puntos, $a$ y $b$, en la recta real se pueden obtener restando a la coordenada que está más a la derecha, la coordenada del punto que está a la izquierda.
Podemos ignorar las ubicaciones relativas entre los puntos y obtener la distancia entre ellos tomando el valor absoluto a cualquiera de las diferencias entre las coordenadas, viendo entonces que significa el valor absoluto de una diferencia.

Interpretación de $|b-a|$

$ |b-a|$ es la distancia entre $a$ y $b$.


Como la distancia de $b$ a $a$ es misma que de $a$ a $b$ podemos ver la siguiente propiedad del valor absoluto.


Proposición

$$|b-a|=|a-b|$$



   

Ejemplo   Exprese $|3-x|$ en términos de distancia.

Respuesta La distancia entre $x$ y $ 3$.


Ejemplo   Exprese $|y+4|$ en términos de distancia.

Solución   Primero reescribimos en la forma $|*-*|$ $$|y+4|=|y-(-4)|$$ De aquí, $|y+4|$ es la distancia entre $y$ y $-4$.


Ejemplo Sean $a,b$ y $c$ números reales tales que $ a \lt b \lt c $. Si $|a-b|=3$ y $|b-c|=2$. Encuentre la distancia entre $a$ y $c$.
Solución
Hacer un dibujo con las informaciones dadas.
El punto $b$ está entre $a$ y $c$.
Hacemos el dibujo y anotamos las distancias.
  

En base a las informaciones encontrar la distancia entre $a$ y $c$
Del dibujo anterior, vemos que la distancia entre $a$ y $c$ es la suma de la distancia entre $a$ y $b$ más la distancia entre $b$ y $c$ $$|a-c|=3+2$$





   


Interpretación geométrica en ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
El significado geométrica puede ayudar a resolver algunas ecuaciones y desigualdades

En la ecuación $|x-2|=3$ nos preguntamos por todos los valores de $x$ para los cuáles su distancia a 2 es igual a 3. Un dibujo nos permite encontrar las soluciones
 
Del gráfico vemos que los únicos puntos, cuya distancia a 2 es igual a 3, son $-1$ y $5$.
$\{-1,5\}$ es el conjunto solución de la ecuación $|x-2|=3$.




   


Ejemplo Encontrar el conjunto solución de la ecuación $ |3x+1|=2$ usando la interpretación geométrica del valor absoluto.
Solución

Haz clic para ver el desarrollo del paso.

Transformar la ecuación a la forma $|x-a|=c$, con $c>0$
Paso 1
Sacamos el coeficiente de $x$ de factor común
$ |3x+1|=2 $
$|3(x+\frac{1}{3})|=2 $ Propiedad del valor absoluto de un producto
$ |3|\cdot |x+\frac{1}{3}|=2 $ Dividimos entre |3|=3 ambos miembros
$ |x+\frac{1}{3}|=\frac{2}{3}$ Usamos la definición de la resta
$ |x-(-\frac {1}{3})|=\frac{2}{3}$ Ya está en la forma pedida

$a=-\frac {1}{3}$ y $c=\frac {2}{3}$


Ubicar $a$ en la recta real y conseguir los puntos que estén a $c$ unidades de $a$.
Paso 2 Ubicamos $-\frac{1}{3}$ en la recta real.
  Buscamos puntos simétricos en torno a $-\frac{1}{3}$ que estén a una distancia de $\frac{2}{3}$ de él.


La solución ubicada a la izquierda se obtiene de $-\frac{1}{3}$ al restarle $\frac{2}{3}$ unidades $$-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{3}{3}=-1 $$ La solución de la izquierda es $-1$

La solución ubicada a la derecha se obtiene de $-\frac{1}{3}$ al sumarle $\frac{2}{3}$ unidades $$-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$ La solución de la derecha es $\frac{1}{3}$
Establecer el conjunto solución.
Paso 3 El conjunto solución es $\{-1, \frac{1}{3} \}$





   




Ejemplo Exprese los siguientes enunciados usando una ecuación o inecuación con valor absoluto.
a $x$ está a menos de 2 unidades de 5.
Solución Primero establecemos los puntos en que se comparan distancias: $x$ y $5$.
La distancia entre $x$ y $ 5$ es $|x-5|$.
Luego, nos fijamos cómo debe ser esa distancia: menor a 2 unidades.
En definitiva, el enunciado se puede expresar como $$|x-5|\lt 2$$


b $x$ se encuentra a más de 3 unidades de $-4$.
Solución Primero establecemos los puntos en que se comparan distancias: $x$ y $-4$.
La distancia entre $x$ y $ -4$ es $|x-(-4)|=|x+4|$.
Luego, nos fijamos cómo debe ser esa distancia: mayor a 3 unidades.
En definitiva, el enunciado se puede expresar como $$|x+4|>3$$


Ejercicio Exprese el siguiente enunciado usando una ecuación o inecuación con valores absolutos.
La suma de las distancias entre $x$ y $2$ y entre $x$ y $-3$ es 5 .
Respuesta $$|x-2|+|x+3|=5$$



Ejemplo Resuelva geométricamente la inecuación doble $$2 \lt |x-3|<4$$
Grafique el conjunto solución y exprese las soluciones en notación de intervalos.
Solución
Escribir la desigualdad doble como dos desigualdades que se deben satisfacer simultáneamente
Paso 1 Se debe satisfacer simultáneamente $$2\lt |x-3| \quad y \quad |x-3|\lt 4$$
Interpretar geométricamente cada inecuación
Paso 2
La primera desigualdad $2\lt |x-3| $, equivalente a $|x-3| >2$, la satisface todos los puntos cuya distancia a 3 es mayor a $2$

La segunda desigualdad, $|x-3|\lt 4$ , la satisface todos los puntos cuya distancia a $3$ es menor a $4$.
Graficar el conjunto solución de cada inecuación
Paso 3 Para la primera desigualdad, $|x-3| >2$, ubicamos el número 3 y nos desplazamos 2 unidades a la derecha y dos a la izquierda. Todos los números a la derecha de 5 están a más de 2 unidades del 3. Todos los números a la izquierda de $1$ están a más de 2 unidades de 3.
 

Para la segunda desigualdad, $|x-3|<4$ , ubicamos $3$ y nos desplazamos 4 unidades a la derecha y 4 a la izquierda de $3$. Los números entre $-1$ y $7$, y sólo estos números, están a menos de 4 unidades de 3.
 

El conjunto solución de la inecuación doble planteada es la intersección o parte común de los conjuntos solución parciales. Se determina.
Paso 4 Como se tiene una desigualdad doble, se debe satisfacer las dos desigualdades simultáneamente.
Se gráfica en una misma recta real los dos conjuntos solución parciales
 
El conjunto solución es la parte común o la intersección de las soluciones parciales.
   
Escribir las soluciones en la notación de intervalos
Paso 5 Del dibujo visualizamos el conjunto solución en notación de intervalos $$CS=(-1,1)\cup (5,7)$$