Axiomas de orden de los números reales
Demostraciones de algunas leyes importantes de desigualdades y de signos
Intuitivamente conocemos el significado de la relación $\lt$, sabemos determinar cuándo un enunciado con este símbolo es cierto o no. Conocemos que -3$\lt$6 y 3$\lt$5 son enunciados verdaderos. Sin embargo, necesitamos una base, a partir de la cual deduciremos resultados acerca de las desigualdades y las leyes de signos. Así que por un momento dejaremos de lado las nociones que tenemos acerca de la relación <.
Empezaremos admitiendo que en el conjunto de los números reales existe una relación $\lt$, que en $x\lt y $ la leemos como $ x$ es menor que $ y$, la cual cumple las siguientes propiedades que las llamaremos los axiomas de orden.
Estas leyes de la suma y multiplicación las llamamos de monotonía porque se preserva el sentido de la desigualdad con las condiciones dadas.
Podemos escribir $ x \lt y $ de manera equivalente como $ y \gt x.$ Así, las propiedades de arriba pueden se escritas usando el signo >, por ejemplo, la propiedad transitiva Si $y \gt x$ entonces $ y+z \gt x+z$
Si $x \lt y $ o $ x= y $ escribimos $x \leq y$. De manera similar, $x \gt y$ o $x= y$ lo abreviamos como $x \geq y$. De la ley de tricotomía tenemos que sólo una de las siguientes se cumple $$ x\gt 0 \; \text{ o } \; x=0 \; \text{ o } \; x \lt 0 $$
Nota: Observe que 0 no es positivo, ni negativo. Decimos que 0 no tiene signo.
Demostración $z \lt 0 $ es equivalente a $0 \gt z $. Aplicamos la propiedad aditiva $$ \begin{array}{rcl} 0+(-z) & > & z+(-z) \\ -z & > & 0 \\ \end{array} $$ Ejercicio Demuestre que si z es positivo entonces -z es negativo.
De los axiomas enunciados podemos deducir otras reglas que están en consonancia con nuestras ideas intuitivas de
desigualdades y nociones de las leyes de los signos. Muchas de las pruebas se basan en el siguiente lema.
Presentamos la demostración de este enunciado junto con la propiedad referente a cuando multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por una cantidad negativa.
Observe que el sentido de la desigualdad se invierte. Para indicar que $ x$ y $ y $ son positivos escribimos $x,y\gt 0 $.
Presentamos la demostración de este enunciado junto con la propiedad referente a cuando multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por una cantidad negativa.
Observe que el sentido de la desigualdad se invierte. Para indicar que $ x$ y $ y $ son positivos escribimos $x,y\gt 0 $.
Leyes de los signos
Ya hemos demostrado que si $z$ es un número negativo
entonces su opuesto es positivo. Al lado enunciamos y
demostramos algunas otras leyes de los signos.
Seguimos con más propiedades de las desigualdades usadas no sólo para resolver inecuaciones.
Esta propiedad puede ser escrita como
Las propiedades de arriba, consecuencias de los axiomas, tienen su versión para los otros signos de desigualdad.
Ejercicio Enuncie y demuestre una ley de recíprocos para cantidades negativas. Como ejercicio dejamos las demostraciones de las propiedades que justifican la transposición de términos y factores. Ejercicio Demuestre cada una de las siguientes proposiciones $$ \begin{array}{ll} &1)& \quad a+b\lt c \quad \Leftrightarrow \quad a\lt b-c \\ &2)&\quad a-b\lt c \quad \Leftrightarrow \quad a\lt b+c \\ &3) &\quad ab\lt c \; \text{ y } \; b>0 \quad \Rightarrow \quad a\lt \frac{c}{b} \\ &4)&\quad ab\lt c \; \text{ y } \; b\lt 0 \quad \Rightarrow \quad a\gt \frac{c}{b} \\ &5)&\quad \frac{a}{b}\lt c \; \text{ y } \; b>0 \quad \Rightarrow \quad a\lt cb \\ &6)&\quad \frac{a}{b}\lt c \; \text{ y } \; b\lt 0 \quad \Rightarrow \quad a\gt cb \end{array} $$
Observe como en las demostraciones usamos las propiedades de la adición y multiplicación, los axiomas de orden y las proposiciones ya probadas.
Seguimos con más propiedades de las desigualdades usadas no sólo para resolver inecuaciones.
Esta propiedad puede ser escrita como
Las propiedades de arriba, consecuencias de los axiomas, tienen su versión para los otros signos de desigualdad.
Ejercicio Enuncie y demuestre una ley de recíprocos para cantidades negativas. Como ejercicio dejamos las demostraciones de las propiedades que justifican la transposición de términos y factores. Ejercicio Demuestre cada una de las siguientes proposiciones $$ \begin{array}{ll} &1)& \quad a+b\lt c \quad \Leftrightarrow \quad a\lt b-c \\ &2)&\quad a-b\lt c \quad \Leftrightarrow \quad a\lt b+c \\ &3) &\quad ab\lt c \; \text{ y } \; b>0 \quad \Rightarrow \quad a\lt \frac{c}{b} \\ &4)&\quad ab\lt c \; \text{ y } \; b\lt 0 \quad \Rightarrow \quad a\gt \frac{c}{b} \\ &5)&\quad \frac{a}{b}\lt c \; \text{ y } \; b>0 \quad \Rightarrow \quad a\lt cb \\ &6)&\quad \frac{a}{b}\lt c \; \text{ y } \; b\lt 0 \quad \Rightarrow \quad a\gt cb \end{array} $$