Axiomas de orden de los números reales

Demostraciones de algunas leyes importantes de desigualdades y de signos

Intuitivamente conocemos el significado de la relación $\lt$, sabemos determinar cuándo un enunciado con este símbolo es cierto o no. Conocemos que -3$\lt$6 y 3$\lt$5 son enunciados verdaderos. Sin embargo, necesitamos una base, a partir de la cual deduciremos resultados acerca de las desigualdades y las leyes de signos. Así que por un momento dejaremos de lado las nociones que tenemos acerca de la relación <.
Empezaremos admitiendo que en el conjunto de los números reales existe una relación $\lt$, que en $x\lt y $ la leemos como $ x$ es menor que $ y$, la cual cumple las siguientes propiedades que las llamaremos los axiomas de orden.

Axioma 1. Propiedad de la tricotomía
Para cualesquiera números reales $x$ y $y$, se tiene que uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero
$$ x \lt y \; \text{ o } \; x \gt y \; \text{ o bien } \; x=y$$


Axioma 2. Propiedad transitiva
$$ \text{Si } x \lt y \; \text{ y } \; y \lt z \; \text{ entonces }\; x \lt z$$


Axioma 3 Propiedad de monotonía para la suma:
Si $x\lt y \; $ entonces $ \; x+z\lt y+z \;$ para cualquier número real $ z$

Propiedad de monotonía para la multiplicación
Si $ \; x\lt y \;$ y $ z \gt 0 \; $ entonces $ \; xz\lt yz $

Estas leyes de la suma y multiplicación las llamamos de monotonía porque se preserva el sentido de la desigualdad con las condiciones dadas.




Podemos escribir $ x \lt y $ de manera equivalente como $ y \gt x.$
Así, las propiedades de arriba pueden se escritas usando el signo >, por ejemplo, la propiedad transitiva
          Si $y \gt x$ entonces $ y+z \gt x+z$


Si $x \lt y $ o $ x= y $ escribimos $x \leq y$. De manera similar, $x \gt y$ o $x= y$ lo abreviamos como $x \geq y$.

De la ley de tricotomía tenemos que sólo una de las siguientes se cumple $$ x\gt 0 \; \text{ o } \; x=0 \; \text{ o } \; x \lt 0 $$




Definición Diremos que un número es positivo si x>0. Un número es negativo si $x \lt 0$.

Nota: Observe que 0 no es positivo, ni negativo. Decimos que 0 no tiene signo.



Proposición Si $z \lt 0 $ entonces$ -z \gt 0. $
Demostración $z \lt 0 $ es equivalente a $0 \gt z $. Aplicamos la propiedad aditiva $$ \begin{array}{rcl} 0+(-z) & > & z+(-z) \\ -z & > & 0 \\ \end{array} $$

Ejercicio Demuestre que si z es positivo entonces -z es negativo.





De los axiomas enunciados podemos deducir otras reglas que están en consonancia con nuestras ideas intuitivas de desigualdades y nociones de las leyes de los signos. Muchas de las pruebas se basan en el siguiente lema.

Lema $y-x $ es positivo si y sólo $x \lt y $.
Presentamos la demostración de este enunciado junto con la propiedad referente a cuando multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por una cantidad negativa.
Propiedad multiplicativa para un factor negativo
Si $x\lt y $ y $ z\lt 0$ entonces $ xz\gt yz$.

Demostraciones


Observe que el sentido de la desigualdad se invierte.

Para indicar que $ x$ y $ y $ son positivos escribimos $x,y\gt 0 $.






Leyes de los signos
Ya hemos demostrado que si $z$ es un número negativo entonces su opuesto es positivo. Al lado enunciamos y demostramos algunas otras leyes de los signos.

Observe como en las demostraciones usamos las propiedades de la adición y multiplicación, los axiomas de orden y las proposiciones ya probadas.


Demostraciones





Seguimos con más propiedades de las desigualdades usadas no sólo para resolver inecuaciones.

Propiedad sobre las potencias
Sean $ x,y\gt 0$. Tenemos que $$ x\lt y\quad \Leftrightarrow \quad x^2\lt y^2 $$


Esta propiedad puede ser escrita como

Propiedad
Para $ x,y\gt 0$ tenemos que $$ x\lt y\quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{x}\lt \sqrt{y} $$

Propiedad de los recíprocos para cantidades positivas
Para $ x,y\gt 0$ tenemos que $$ x\lt y\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{x}>\frac{1}{y} $$


Demostraciones

Las propiedades de arriba, consecuencias de los axiomas, tienen su versión para los otros signos de desigualdad.



Ejercicio
Enuncie y demuestre una ley de recíprocos para cantidades negativas.

Como ejercicio dejamos las demostraciones de las propiedades que justifican la transposición de términos y factores.

Ejercicio
Demuestre cada una de las siguientes proposiciones
$$ \begin{array}{ll} &1)& \quad a+b\lt c \quad \Leftrightarrow \quad a\lt b-c \\ &2)&\quad a-b\lt c \quad \Leftrightarrow \quad a\lt b+c \\ &3) &\quad ab\lt c \; \text{ y } \; b>0 \quad \Rightarrow \quad a\lt \frac{c}{b} \\ &4)&\quad ab\lt c \; \text{ y } \; b\lt 0 \quad \Rightarrow \quad a\gt \frac{c}{b} \\ &5)&\quad \frac{a}{b}\lt c \; \text{ y } \; b>0 \quad \Rightarrow \quad a\lt cb \\ &6)&\quad \frac{a}{b}\lt c \; \text{ y } \; b\lt 0 \quad \Rightarrow \quad a\gt cb \end{array} $$