DESIGUALDADES CON UN VALOR ABSOLUTO

Resolución usando propiedades del valor absoluto

Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el argumento del valor absoluto


Ejemplos $$|3x+2|\gt 5$$ $$|5x-4|\le 7$$


Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla al aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto. Ellas las recordamos de la interpretación geométrica del valor absoluto .

Proposición Para $c>0$ tenemos

1   $|expresi \acute{o} n| \lt c $ es equivalente a $ -c \lt expresi \acute{o} n \lt c $.

2   $|expresi \acute{o} n| > c $ es equivalente a   $expresi \acute{o} n\lt -c $  o   $ expresi \acute{o} n \gt c $


Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no estrictas, $\le$ y $\ge$ .

Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y una constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con alguna de las dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades de la equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en base a la condición de la equivalencia. Veamos algunos ejemplos.





   


Ejemplo Resolver la desigualdad $| 5x-4 | \le 7$ Hacer la gráfica del conjunto solución.

Solución Haz clic para ver el desarrollo por pasos.
 Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar con alguna de las formas de la proposición
Paso 1 El valor absoluto ya está despejado. Tiene la forma 1 de la proposición

Aplicar la equivalencia
Paso 2 La desigualdad es equivalente a $$ -7 \leq 5 x -4 \leq 7 $$

Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia
Paso 3 Se tiene una desigualdad doble, equivalente a dos desigualdades. Se resuelven de manera simultánea. Lo que se hace a un miembro se les hace a los otros dos miembros hasta aislar la $x$ en el miembro del medio.
$ -7 \leq 5x-4 \leq 7 $
$ -7+4 \leq 5 x-4+4 \leq 7+4 $ $ \qquad {\small { \color{BlueViolet} { Sumar \; 4 \; a \; cada \; miembro }} } $
$-3 \leq 5 x \leq 11 $
$ - \frac{3}{5} \leq \frac{ 5 x}{5} \leq \frac{11}{5} $ $\qquad {\small { \color{Blue} { Dividir \; entre \; 5 }} } $
$- \frac{3}{5} \leq x \leq \frac{11}{5} $

Establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente.
Paso 4 El conjunto solución es $\{x | - \frac{3}{5} \leq x \leq \frac{11}{5} \}$, es decir las $x$ en el intervalo $[ - \frac{3}{5} , \frac{11}{5} ]$. Su representación gráfica es




   


Ejemplo Resolver la desigualdad | 2x+1 | >3. Hacer la gráfica del conjunto solución.

Solución Haz clic para ver el desarrollo por pasos.
 Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar con alguna de las formas de la proposición
Paso 1 El valor absoluto ya está despejado. Tiene la forma 2 de la proposición: $|expresion |>c,$ con $c$ positivo.

Aplicar la equivalencia
Paso 2 La desigualdad es equivalente a $$ 2x+1 \lt -3 \quad o \quad 2x+1>3 $$

Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia
Paso 3 Se tiene que resolver dos desigualdades $ 2x+1 \lt -3 \quad o \quad 2x+1>3 $ $\qquad { \small { \color{BlueViolet} { Restar \; 1 \; a \; cada \; miembro }} } $
$ { \small { 2x+1 -1\lt -3-1 \quad o}} $ $ \quad {\small {2x+1-1>3-1}} $
$ 2x\lt -4 \quad o \quad 2x>2 $ $\qquad {\small { \color{Blue} { Dividir \; entre \; 2 }}} $
$x\lt -2 \quad o \quad x>2 $

Establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente.
Paso 4 El conjunto solución es $\{x | x \lt -2 \quad o \quad x > 2 \}$. Expresamos el conjunto en la notación de intervalos usando el símbolo $ \cup$. $$ ( -\infty,-2) \cup (2, \infty) $$ Su representación gráfica es
 




   


Verdadero o Falso
La desigualdad $|x-2|>-5$ es equivalente a $$ x-2\lt -(-5) \quad o \quad x-2>-5$$
Falso.
  No se puede aplicar la proposición, pues $c=-5$ es un número negativo.
La desigualdad se resuelve por lógica.

Un valor absoluto siempre es un número no negativo, entonces siempre es mayor a $-5$, un número negativo. Por tanto el conjunto solución es R.
Observación
Así como se resolvió una desigualdad con el valor absoluto de un lado y un número negativo en el otro lado, desigualdades como $|x-3|>0$, con el 0 en un lado de la desigualdad, pueden ser resueltas usando el hecho que un valor absoluto es siempre mayor o igual a cero y es cero si y sólo si el argumento del valor absoluto es cero.
Así, en el caso de la desigualdad $|x-3|>0$ se quiere determinar todos los $x$ para los cuáles el valor absoluto es positivo: al conjunto de todos los números reales hay que quitarle los puntos que hacen el argumento del valor absoluto igual a 0. Hay que quitarle un sólo valor: 3. En definitiva, el conjunto solución de la desigualdad planteada es $R-\{3\}. $





   


Verdadero o Falso

La desigualdad $3+|x+1|\lt 5$ es equivalente a $-5\lt 3+x+1\lt 5$
Falso.
No se puede aplicar de una vez la proposición de equivalencia.

Primero hay que despejar el valor absoluto. Se resta 3 a ambos lados de la desigualdad $$|x+1|\lt 2$$ Ahora si se puede aplicar la proposición, tiene la forma 1, con $c=2, $ positivo. La desigualdad es equivalente a $-2\lt x+1\lt 2. $ Puede confirmar que las soluciones de la desigualdad con valor absoluto son todos los números en el intervalo $(-3,1)$


Ejercicios Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones. Exprese, en caso de ser posible, el conjunto solución usando la notación de intervalos y construya la gráfica.
1.1) $ \left|x+3 \right|> 4; $
1.2) $ \left|2x+1 \right| \lt 3; $
1.3) $ \frac15-2\left| x+1 \right| \leq 0 ; $
1.4) $\left| \frac{2-x}4 \right| -1 \geq 0 ; $
1.5) $ \left| 3-x \right| > -2 ; $
1.6) $ \left| x-4 \right| +3 \leq 0 ; $
1.7) $ -\frac14\left| 3-2x \right| +3 \geq 1 ; $
1.8) $ \left| \frac{x}4-5 \right| \leq 0 ; $