DESIGUALDADES RACIONALES
Y POLINÓMICAS

En esta página se resuelven desigualdades o inecuaciones racionales y polinómicas por el método de los signos. En las desigualdades racionales hay que tener especial cuidado en los valores de la incógnita que hacen que el denominador se anula pues no son parte del conjunto solución. También se muestra cómo se puede proceder si se quiere resolver una desigualdad racional multiplicando ambos lados por un polinomio, a fin de eliminar los denominadores. Se presentan videos y documentos en PDF tipo diapositivas. Para cada una de las exposiciones se propone una lista de ejercicios con respuestas al final de la página

T01S6V1 Video 1
DESIGUALDADES RACIONALES

Se define este tipo de desigualdades junto con las polinómicas. Se comenta las precauciones que hay que tomar al resolverlas. Se establecen los pasos recomendados para resolver este tipo de desigualdades por el método de los signos. Se muestra un ejemplo de cómo se resuelve este tipo de desigualdad por el método visto.






Ejercicios para después del video
1) Resuelva cada desigualdad
$$ \begin{array}{rl} {\bf 1.1)}& \frac{x+1}{x+2} \leq 0\qquad \\ {\bf 1.2)}& \frac{(x-3)(x+4)}{x-1}\leq 0 \\ {\bf 1.3)}& \frac{(x+1)^2(x+2)}{(x-1)(x+2)}\geq 0 \end{array} $$

Respuestas $1.1) \; (-2,1] \quad $
$1.2) \; \left ( -\infty,-4 \right )\cup \left ( 1,3 \right ) \quad \\ 1.3) \; (1,\infty ) $






   


T01S6V2 Video 2
DESIGUALDAD POLINOMIAL. MÉTODO DE LOS SIGNOS CUADRÁTICA

Se resuelve una desigualdad polinómica, específicamente cúbica, por el método de los signos. Se motiva esta técnica. Aun cuando la factorización se bosqueja por Ruffini se muestra otro procedimiento para factorizar el polinomio cúbico. El signo de los factores se determina planteando y resolviendo una desigualdad.


Ejercicios para después del video
2) Resuelva cada desigualdad

${\bf 2.1)}\; 2(3-x)^3(x+4)(3x-2) > 0 $
${\bf 2.2)}\; {(x+1)^2(x+2)}-{(x-1)(x+2)}\geq 0 $
${\bf 2.3)} \; x^3-2x^2-x+2 > 0$

Respuestas $2.1)\; \left ( -\infty ,-4 \right ) \cup \left ( \frac{2}{3},3 \right )\quad \\ $ $ 2.2) \; [-2,\infty )$
$ 2.3) \; \left ( -1,1 \right )\cup (2,\infty ) $






   

D04S6V3 Documento 1
EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES RACIONALES

Se resuelven dos desigualdades racionales. La segunda inecuación racional, ya está en la forma una fracción $\lt 0$, se discute acerca de la factorización en el numerador.

Ejercicios resueltos

Resolver $\dfrac{x+2}{x-1}\ge 1$


Resolver $\dfrac{x^2+2}{(x+4)(x-5)}\lt 0$





Ejercicios para después del video
3) Resuelva cada desigualdad
${\bf 3.1)} \; \frac3{x+1}-5 \leq 0 \quad \qquad\qquad \\ {\bf 3.2)} \; \frac{x^2+2}{(x+4)(x-5)}\geq 0 $
$ {\bf 3.3)} \; \quad 3-\frac 2{x-1}\leq 0 \qquad\qquad \\ {\bf 3.4)} \; \frac {x+2}{x-1}\geq 2 $

Respuestas $ 3.1)\; \left ( -\infty ,-1 \right ) \cup [- \frac{2}{5},\infty) \quad \\ 3.2) \; \left ( -\infty ,-4 \right ) \cup (5,\infty) $
$3.3) \; ( 1,\frac{5}{3}] \quad \\ 3.4) \; ( 1,4]$






   

T04S6D4 Documento 1
RESOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD POLINÓMICA

Se resuelve una inecuación polinónica de cuarto grado. Una vez que se consigue la gráfica de la desigualdad, la solución es expresada como unión de intervalos.

Ejercicio resuelto

Resolver $x^4-7x^2+6x\le 0$



Ejercicios para después del video
1) Resuelva cada desigualdad. Exprese el conjunto solución usando la notación de intervalos
$ {\bf 4.1)}\; x^3-x^2-4x+4\geq 0 $
${\bf 4.2)} \; 2(3-x)^3-3(x-3)^2 > 0 $
${\bf 4.3)}\; (2-x)^3>(x+4)(x-2) $
${\bf 4.4)}\; x{(x+3)(x-5)}-x^3(x+3)(x-5)\geq 0 $

Respuestas $4.1)\; \left [ -2,1 \right ] \cup [2,\infty) \quad \\ 4.2) \; \left ( -\infty ,\frac{3}{2} \right ) $
$ 4.3) \; \left ( -\infty ,2 \right ) \quad \\ 4.4) \; \left ( -\infty ,-3 \right )\cup \left [ -1,0 \right ]\cup \left [ 1,5 \right ] $




   

En desigualdades del tipo $$\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)} > R\left(x \right)$$ es frecuente el error de querer resolverla pasando el denominador a multiplicar sin hacer consideraciones sobre su signo.

Recuerde que si se multiplica ambos lados de una desigualdad por una cantidad negativa el sentido de la desigualdad se invierte.

Si se quiere resolver la desigualdad planteada, pasando el denominador a multiplicar. Básicamente se divide la recta real en tres regiones: donde el denominador es positivo, cero y negativo, luego se consigue las soluciones de la desigualdad en cada región, tomando en cuenta el signo del denominador en la región.