Derivación implícita
http://youtu.be/
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DERIVACIÓN IMPLÍCITA. EJEMPLOS
En el video mostramos dos ejemplos de cómo obtener la derivada, y´, cuando la función viene determinada implícitamente por una ecuación, empleando el método de derivación o diferenciación implícita. Se usa la notación prima, ´, se muestra cómo derivar distintos términos y se dan recomendaciones de cómo despejar y´.

Resumen
La derivación implícita se aplica a funciones definidas implícitamente, específicamente a funciones definidas por una ecuación en que la y no esta despejada.

Para conseguir la derivada de y con respecto a x, dy/dx,
Primero se deriva ambos miembros de la ecuación, tomando en cuenta en todo momento que y es función de x, y por consiguiente al tener que derivar y con respecto a x hay que aplicar la regla de la cadena.
Finalmente, se despejar dy/dx.


Pasos recomendados para despejar dy/dx
P1 Si hay denominadores, multiplique ambos miembros por el mcm de los denominadores, a fin de eliminarlos.
P2 Elimine los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva si es el caso.
P3 Agrupe los términos con dy/dx en un miembro y los otros términos en el otro miembro.
P4 Saque factor común dy/dx.
P5 Pase a dividir el factor de dy/dx
Un ejemplo con logaritmo
A continuación, un ejemplo con logaritmos, donde es conveniente antes de derivar, reescribir la ecuación aplicando las propiedades de los logaritmos hasta que ningún logaritmo sea producto, cociente o potencia.

Ejemplo Consiga dy/dx por derivación implícita

Solución Preparamos antes de derivar, para que la derivación resulte más fácil. Como tenemos el logaritmo de un producto aplicamos la propiedad, es la suma de los logaritmos, aprovechamos de reescribir el radical

Ahora se deriva implícitamente. Se deriva el lado izquierdo y el derecho con respecto a x, Recuerde que y es función de x. El lado derecho es una constante, su derivada es cero

Falta despejar y´.
Seguimos las recomendaciones para despejar una variable que está lineal en una ecuación. Primero multiplicar por el mcm de los denominadores (2xy), a fin de eliminarlos, queda

La última simplificación se obtuvo al sacar -2y de factor común en el numerador y x en el denominador. Los otros factores resultaron iguales, se cancelaron.


Al lado ejercicios con sus respuestas
Ejercicios
Encuentre dy/dx por derivación implícita.

Respuestas


Video
DERIVACIÓN IMPLÍCITA. CONCEPTOS, EL MÉTODO Y EJEMPLO

Se empieza con conceptos e ideas claves para entender el método de derivación o diferenciación implícita, pasando a establecer los pasos para obtener la derivada de una función por este método cuando la función viene dada por una ecuación en que la variable dependiente no está despejada. Un ejemplo es desarrollado usando la notación de Leibniz
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