3.6    RECTAS PARALELAS Y
RECTAS PERPENDICULARES

Relaciones

RECTAS PARALELAS

Se discute sobre la pendiente de rectas paralelas, mostrando un ejemplo en que se determina la ecuación de una recta conociendo que es paralela a otra.


Ejercicio para después del video
Encuentre la ecuación de la recta que corta el eje $x$ y en 3 y es paralela a la recta $3x – 4y = 4$
$ 4y-3x+9=0$


RECTAS PERPENDICULARES

Se muestra gráficamente la relación que existe entre las pendientes de rectas perpendiculares. Se desarrolla un ejemplo en que se determina la ecuación de una recta con unas informaciones.

Ejercicio para después del video
Determine la ecuación general de la recta que es perpendicular a la recta $3y-6x=5$ y pasa por el punto (3,-4).

Respuesta   $x+2y+5=0$



RECTAS PARALELAS O PERPENDICULARES A OTRAS

Se muestran tres ejemplos de cómo hallar la ecuación de la recta que es paralela o perpendicular a otra.



Ejercicio para después del video
1) Consiga la ecuación de la recta que corta el eje $x$ en 6 y es paralela a la recta que pasa por (1,2) y (4,5).

2) Consiga la ecuación general de la recta que es perpendicular a la recta $ 3x – 4y =2 $ y corta el eje $y$ en $-3$.

3) Obtenga la ecuación general de la recta que es perpendicular a la recta $3y-x-4=0$ y pasa por el punto de intersección de las rectas $y-3x=1$ y $2y+3x=2$.

4) Encuentre la ecuación general de la recta que es paralela a la recta $3x-4=0$ y que pasa por el punto (2,4).

5) Determine la ecuación que es perpendicular a la recta $2y-x-6=0$ y tiene la misma ordenada al origen. Escriba su respuesta en la forma pendiente ordenada al origen.

6) Consiga la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,7) y es paralela a la recta que pasa por (5,5) y (5,3).
Respuestas
1)   $y-x+6=0;\quad$ 2)  $3y+4x+9=0 $
3)   $y+3x+1=0;\quad$ 4)   $x=2$
5)   $y=-2x+3;\quad$ 6)   $x=5 $



DECIDIR SI LAS RECTAS DADAS SON PARALELAS O PERPENDICULARES O NINGUNA DE LAS ANTERIORES


Dos rectas, no verticales, son paralelas si tienen la misma pendiente.


Dos rectas, no paralelas a los ejes coordenados, son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a $-1$.

Es claro que si la ecuación de una de las rectas corresponde a una recta vertical y la otra a una recta horizontal entonces las rectas son perpendiculares.

Ejemplo Para cada par de rectas determine si son paralelas o perpendiculares o ninguna de las anteriores.
a) $y=3x-1$ y $3y+x=4$
b) $y-8x-5=0$ y $8y-x=16$
c) $y-2x-1=0$ y $3y-6x=5$
d) $3y-2=0$ y $6x-5=0$
Solución a);   Solución b);   Solución c);   Solución d)

Ejercicios
1) Para cada par de rectas diga si son paralelas o perpendiculares o ninguna de las anteriores.
a)  $ 2y-3x=5\quad $ y $\quad 6x-4y-2=0; $
b)  $2y-3x=7\quad $ y $\quad 2x-3y=9; $
c)  $ 3x-2y=4\quad $ y $\quad 3y=4-2x $
Respuestas
1 a) Paralelas;     b) Ni paralelas, ni perpendiculares;
c) Perpendiculares


CONSIGA EL VALOR DE k PARA QUE LAS RECTAS SEAN PARALELAS

Si se quiere determinar los valores de una constante para que dos rectas sean paralelas, se usa el hecho que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.

Así, el primer paso es encontrar la pendiente de cada recta, una o las dos pendientes dependen de la constante, $k$, a determinar.
Se plantea y se resuelve la ecuación $$m_1=m_2$$ con incógnita $k$.

Las pendientes se pueden determinar llevando cada ecuación a la forma $y=mx+b$. El coeficiente de $x$ es la pendiente de la recta.


   






CONSIGA EL VALOR DE k PARA QUE LAS RECTAS SEAN PERPENDICULARES


Se usa el hecho que dos rectas son perpendiculares si $$m_1=-\frac{1}{m_2}$$
El primer paso es encontrar la pendiente de cada recta, una o las dos pendientes dependen de la constante, $k$ a determinar.
Se plantea y se resuelve la ecuación $$m_1=-\frac{1}{m_2}$$ con incógnita $k$.

Observación De manera equivalente, se puede plantear la ecuación
$$m_1\cdot m_2=-1$$

Ejercicios
1) Determine los valores de $k$ para que las rectas $\quad ky-3x=4 \quad $ y $\quad kx-4y=7 \quad $ sean paralelas.

2) Consiga el valor de $k$ para que las rectas $\quad2y-5x=4 \quad$ y $\quad kx+4y=7 \quad $ sean perpendiculares.
Respuestas 1)  $k=\pm \sqrt{12} $
2)  $k=-\frac{8}{5} $

DEMOSTRACIÓN 1 DE LA RELACIÓN ENTRE PENDIENTES DE RECTAS PERPENDICULARES

Prueba que usa la fórmula de distancia entre dos puntos y demuestra el recíproco del Teorema.

DEMOSTRACIÓN 2 DE LA RELACIÓN ENTRE PENDIENTES DE RECTAS PERPENDICULARES


La prueba usa sólo el Teorema de Pitágoras.

Es importante que recuerde las líneas generales de la demostración:
1) Tomar rectas que pasan por el origen, así sus ecuaciones son de la forma $y=mx.$
2) Trazar la recta $x=1$. Establecer Pitágoras con el triángulo rectángulo planteado.
3) Pasar a determinar la longitud de cada lado del triángulo rectángulo. Usar las coordenadas de los vértices del triángulo