FACTORIZACIÓN  POR  AGRUPAMIENTO



ANIMACIÓN
UN EJEMPLO INTRODUCTORIO

En la animación se muestran un ejemplo en que se emplea la técnica de factor común para factorizar el polinomio dado. La forma como se presenta el polinomio a factorizar es la que se busca cuando se quieren agrupar términos del polinomio.


Ejercicios para después de la animación
Factorice por factor común.
1.1) $ 3x^2(2x + 1 ) + 3x^3(2x + 1 ) $
1.2) $ 5(x+1)^4(x + 3 )^3 – 3(x+1)^5(x + 3 )^2 $
1.3) $ 2t^4(t + 3 )^3 – t^5(t + 3 )^3 + t^6(t + 3 )^2 $

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1.1) $ 3x^2(2x + 1 )(1 + x) $

1.2) $(x + 1)^4(x + 3 )^2( 5 (x+3) – 3(x+1) )$
$\qquad = 2 (x + 1)^4 (x + 3 )^2 (x+ 6)$

1.3) $ 2t^4 (t + 3 )^2(2(t + 3 ) – t (t + 3 ) + t^2 )$
$\qquad = 2t^4 (t + 3 )^2( – t + 6)$




Si se tiene un polinomio con cuatro términos sin factores comunes, se puede intentar agrupar los términos convenientemente en dos binomios (usando la propiedad asociativa), cada uno de los cuáles se factoriza, buscando que los binomios factorizados tengan factores comunes.


Ejemplo
$3x^4+x^3+3x^2+x$ Se asocia convenientemente
= $(3x^4+x^3)+(3x^2+x)$ Se saca factor común en cada término
$ \qquad = x^3(3x+1)+x(3x+1)$ Se saca factor común
$ \qquad = x(3x+1)(x^2+1)$




Ejercicios
Factorice por agrupamiento
2.1) $x^6– 3x^5 + 2x^2– 6x; $
2.2) $ ax^3 – 2x^2 + 3ax – 6; $
2.3) $ x^3 – 4x+ x^2 – 4 ;$
2.4) $ 4x^3+8x^2 – x – 2$

Intente de factorizar completamente cada polinomio. Es decir que luego de factorizar por agrupamiento, factorice los factores resultantes que se puedan.

Observe que el polinomio 2.3 no viene ordenado de mayor a menor grado.

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2.1) $ (x – 3) x (x^4 + 2)$
2.2) $ (ax – 2) (x^2 + 3)$
2.3) $ (x – 2) (x + 1) (x + 2)$
2.4) $ (x + 2) ( 2x – 1) ( 2x + 1)$






A VECES HAY QUE REORDENAR

PASOS A CONSIDERAR PARA FACTORIZAR POR AGRUPAMIENTO

1º Reordenar, si es necesario.

2º Agrupar convenientemente, usando la propiedad asociativa.

3º Factorizar en los grupos, intenta primero sacando factor común.

4º Factorizar toda la expresión resultante. Intenta primero sacar factor común en la expresión.



Ejemplo

Ejercicios
Factorice completamente
3.1) $ xy +1 – x – y$

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3.1) $( x – 1) ( y – 1)$


Si quieres factorizar completamente la expresión, no te olvides de factorizar los factores resultantes.

Hasta ahora se ha considerado agrupamiento que conduzcan a obtener factores comunes. Cuando esto falla, se puede considerar otras maneras de factorizar los grupos y la expresión con agrupamientos.

Ejercicios resuelto
Factorice completamente
$ x^2 + 4x + 4 – 9y^2 $

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Ejercicio
Factorice completamente
4.1) $ a^2 + a – b^2 – b$

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4.1) $( a – b )( a + b +1 )$