SUMAS  Y RESTAS DE
EXPRESIONES RACIONALES


Contenido
1 Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador. 2 Suma y resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores. Reducción a común denominador. 3 Sumar y restar expresiones racionales con la fórmula 4 Método del mínimo común múltiplo. Buscando fracciones equivalentes con común denominador el mínimo común multiplo, mcm , de los denominadores


VIDEO 1
SUMAS DE EXPRESIONES RACIONALES CON IGUAL DENOMINADOR

En el video se muestran ejemplos en que se efectúan sumas y restas de fracciones algebraicas con igual denominador.


Ejercicios
1) Efectúe y simplifique



Cuidado en 1.2): En la resta esté pendiente de escribir el segundo numerador entre paréntesis si tiene más de un término.
Sugerencia: Puede usar la propiedad conmutativa en 1.4.

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Para restar expresiones racionales con igual denominador se deja el mismo denominador y se restan los numeradores.




   

Suma y resta de fracciones con distintos denominadores

Reducción a común denominador

Para sumar expresiones racionales con distintos denominares se busca expresiones equivalentes con igual denominador.

¿Cómo conseguir expresiones racionales equivalentes a $\dfrac{x}{x-3}$ y $\dfrac{5}{x+4}$ con común denominador a fin de sumar las expresiones racionales?

Una idea es multiplicar cada expresión por 1, escrito como el otro denominador partido entre ese mismo otro denominador.

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Observa primero que ambos denominadores no tienen factores comunes. La primera expresión la multiplicamos por uno, no alteramos la expresión, ese uno escrito como el segundo denominador sobre esa misma expresión y multiplicamos las fracciones.



Con la otra expresión procedemos de manera similar



Ahora podemos efectuar la suma de estas expresiones racionales.



Finalmente, se desarrolla los productos y se reducen términos semejantes
  



Ejemplo
Una resta reduciendo a común denominador, justificada paso a paso.
Observa que los denominadores no tienen factores comunes




Podemos acortar el proceso, de varias maneras, visualizando que cuando multiplicamos por uno, ese uno escrito como una expresión sobre esa misma expresión, el resultado de la multiplicación es otra expresión racional con numerador el mismo por el otro denominador y denominador el mismo denominador por el otro denominador.


Visto de otra manera, podemos ahorrarnos las dos primeras líneas. Para proceder más formalmente, usamos el concepto de expresiones racionales equivalentes. De la manera que hemos procedido arriba, podemos llegar a

  $\dfrac{P}{Q}= \dfrac{P\cdot R}{Q\cdot R}\quad$ en el dominio común.
Donde $P,Q$ y $R$ son polinomios.
Las expresiones racionales que están a ambos lados de la última igualdad son equivalentes.

Así que para restar expresiones racionales sin factores comunes en el denominador, podemos restar las expresiones racionales equivalentes obtenidas al multiplicar numerador y denominador por el denominador de la otra fracción.

Pulsa el botón para ver el desarrollo del ejemplo anterior de manera abreviada, usando el concepto de expresiones racionales equivalentes



También podemos resumir el proceso estableciendo una fórmula que es explicada en el siguiente video, esta fórmula es conocida como la suma de fracciones en cruz y recomendable cuando se tienen dos términos con denominadores sin factores comunes.


   

VIDEO 2
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES USANDO LAS PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES.

Se explica cómo efectuar sumas y restas de expresiones racionales, usando las propiedades de las fracciones, dadas por las fórmulas:
$$\dfrac{a}{b} \pm\dfrac{c}{d}= \dfrac{ad \pm bc}{bd},\qquad b,d\ne 0$$
La propiedad describe que el resultado de una suma o resta es una fracción con denominador el producto de los denominadores y numerador la suma o resta de los productos cruzados, en cruz. Se muestran ejemplos en que luego de efectuar las operaciones se considera simplificar la respuesta llevándola a una fracción algebraica irreducible. También se justifica la propiedad usada buscando fracciones equivalente con común denominador el producto de los denominadores, para luego hacer la suma de fracciones con igual denominador. El procedimiento descrito en este video es recomendado cuando los denominadores son primos entre sí, es decir no tienen factores comunes.


En el ejemplo anterior podemos aún ahorrarnos más líneas al aplicar la fórmula, llegando a la cuarta línea del desarrollo de una vez. Este método es conocido como suma y resta de expresiones racionales en cruz. Los métodos matemáticos son recomendables aplicarlos entendiendo bien cada paso. Te aconserjamos que domines los métodos de arriba. Pero aplicar la fórmula es muy práctico cuando tienes que efectuar muchas sumas y restas de expresiones racionales, sin factores comunes entre los denominadores.
$$\dfrac{a}{b} \pm\dfrac{c}{d}= \dfrac{ad \pm bc}{bd},\qquad b,d\ne 0$$
Observa que esta fórmula es cuando se tiene dos términos.

Recuerda que hasta el momento hemos descritos métodos para cuando no hay factores comunes en los denominadores

Solución del ejemplo anterior
usando la fórmula

Ejercicios
2) Realice las sumas y restas dadas. Exprese su resultado de la forma más simple posible.

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VIDEO 3
MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO PARA SUMAR Y RESTAR EXPRESIONES RACIONALES

En el video se explica cómo efectuar sumas y restas de fracciones algebraicas, buscando fracciones equivalente con denominador común el mínimo común múltiplo, mcm, de los denominadores, también conocido como el mínimo común denominador, MCD. Se explica como obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores. Se muestran ejemplos en que luego de efectuar las operaciones se considera simplificar el resultado


El método del mínimo común múltiplo de los denominadores es un método recomendable para cuando
1) Se tiene más de dos términos o para cuando
2) Hay factores comunes entre los denominadores.

Pasos para efectuar la suma de expresiones racionales por el mcm de los denominadores


1) Factorizar cada denominador y calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores

2) Multiplicar el denominador y el numerador de cada expresión racional por lo que le falta para ser igual al mínimo.

3) Sumar expresiones racionales con el mismo denominador.

4) Simplificar el numerador


Si aplicas la fórmula o bien multiplicas numerador y denominador por el otro denominador puede quedarle una suma con igual denominador más complicada que la que te quedarìa si usas el método del mínimo común múltiplo. En el siguiente ejercicio se muestra su resolución usando el método del mínimo común múltiplo, quedando de una vez la expresión racional con los menores grados posibles del numerador y denominador.

Ejemplo resuelto
Sume y simplifique
$$\dfrac{x-1}{x^2-2x}+\dfrac{x+4}{x^2-4}$$

Ver solución paso a paso

Ejercicios para después del video
3) En cada uno de los siguientes ejercicios encuentre el minimo común múltiplo.




4) Realice las operaciones indicadas y simplifique


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VIDEO 5
EJEMPLO: EFECTUAR UNA RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES USANDO EL MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR.
SIMPLIFICAR

El video desarrolla una resta de fracciones algebraicas usando la técnica del mínimo común múltiplo de los denominadores. En la expresión a restar hay que factorizar completamente los denominadores, esto toma varios pasos. También se considera levar la expresión racional obtenida a su forma más simple.

Ejercicios para después del video
5) Efectúe y reduzca a su mínima expresión.


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